Zeigen Sie vektoriell: Verbindet man die Seitenmitten M1, M2, M3 und M4, so erhält man ein

Question

Aufgabe:

Gegeben ist im R^2 oder R^3
ein ebenes Viereck mit
den Eckpunkten A, B, C und D. Ferner bezeichnen M1, M2, M3 und M4 die Mittelpunkte der
Seiten des Vierecks.
Zeigen Sie vektoriell: Verbindet man die Seitenmitten M1, M2, M3 und M4, so erhält man ein
Parallelogramm.

Comments

Die Voraussetzung, dass das Viereck eben sein muss, kann entfallen.

Answer 1

\(\overrightarrow{M_1M_2}=0,5\vec a + 0,5\vec b\)

\(\overrightarrow{M_3M_4}=0,5\vec c + 0,5\vec d\)

\(\vec a + \vec b +  \vec c+\vec d= \vec o\)

\(\vec a + \vec b =- (\vec c+\vec d)\)

\(0,5\vec a + 0,5\vec b =-(0,5\vec c+0,5\vec d)\)

\(\overrightarrow{M_1M_2}=-\overrightarrow{M_3M_4}\)

Answer 2

A = [a1, a2, a3]

B = [b1, b2, b3]

C = [c1, c2, c3]

D = [d1, d2, d3]

M1 = [0.5·(a1 + b1), 0.5·(a2 + b2), 0.5·(a3 + b3)]

M2 = [0.5·(b1 + c1), 0.5·(b2 + c2), 0.5·(b3 + c3)]

M3 = [0.5·(c1 + d1), 0.5·(c2 + d2), 0.5·(c3 + d3)]

M4 = [0.5·(a1 + d1), 0.5·(a2 + d2), 0.5·(a3 + d3)]

M1M2 = [0.5·(c1 - a1), 0.5·(c2 - a2), 0.5·(c3 - a3)]

M4M3 = [0.5·(c1 - a1), 0.5·(c2 - a2), 0.5·(c3 - a3)]

M1M2 = M4M3 → parallel und gleich lang. Damit ist das Viereck aus den Seitenmitten immer ein Paralellogramm.

Man hätte hier auch vereinfacht mit den Vektoren A, B, C und D rechnen können.