Seitenmitten auf einem Kreis

Question

Zeige: Die Seitenmitten eines Vierecks, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, liegen auf einem Kreis.

Answer 1

komisch, dass diese Aufgabe so lange unbeantwortet blieb. Am Schwierigkeitsgrad kann es nicht liegen.

Betrachtet man die Verbindung zweier benachbarter Seitenmitten eines Vierecks, z.B. die Strecke \(M_cM_d\), so ist diese gleichzeitig die Mittelparallele des Dreiecks \(\triangle ACD\) und verläuft somit parallel zur Diagonalen \(AC\). Aus dem selben Grund liegt \(M_aM_b\) parallel zu \(AC\) und damit auch parallel zu \(M_cM_d\).

Daraus folgt: der Polygonzug aus den Seitenmitten eines beliebigen Vierecks ist ein Parallelogramm. Stehen die Diagonalen senkrecht zu einander, gilt das folglich auch für zwei benachbarte Verbindungen der Seitenmitten. Das Verbindungsviereck wird in diesem Fall zum Rechteck, und da jedes Rechteck einen Umkreis besitzt, liegen seine Eckpunkte - also die Seitenmitten des Ausgangsvierecks - auf einem Kreis.

Answer 2

Da die Diagonalen des Vierecks ABCD senkrecht aufeinander stehen sollen, müssen auch die Parallelen durch die Seitenmitten EFGH senkrecht aufeinander stehen. Das Viereck EFGH ist somit ein Rechteck Die Diagonalen dieses Rechtecks schneiden sich in I dem Mittelpunkt des Kreises durch EFGH.

(Eine ähnliche Aufgabe ist hier zu finden:

https://www.mathelounge.de/446231/vektoriell-verbindet-seitenmitten-erhalt-parallelogramm

Da entsteht ein Parallelogramm, weil die Diagonalen des Vierecks nicht senkrecht aufeinander stehen.)

Comments

Da die Diagonalen des Vierecks ABCD senkrecht aufeinander stehen sollen, müssen auch die Parallelen

zu diesen Diagonalen

durch die Seitenmitten EFGH

wegen einer gültigen Umkehrung eines Strahlensatzes (bzw. wegen dem Satz über die Mittellinie im Dreieck)

senkrecht aufeinander stehen. Das Viereck EFGH ist somit ein Rechteck Die Diagonalen dieses Rechtecks schneiden sich in I dem Mittelpunkt des Kreises durch EFGH

weil im Rechteck die Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren. (Alternativ könnte man mit der Umkehrung des Satzes des Thales argumentieren).