Zeigen Sie vektoriell: Verbindet man die Seitenmitten M1, M2, M3 und M4, so erhält man ein Parallelogramm.

Question

Ich hoffe du heute könnt helfen. 

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Titel: Zeigen Sie vektoriell: Verbindet man die Seitenmitten M1, M2, M3 und M4, so erhält man ein

Stichworte: parallelogramm,viereck

Aufgabe:

Gegeben ist im R^2 oder R^3
ein ebenes Viereck mit
den Eckpunkten A, B, C und D. Ferner bezeichnen M1, M2, M3 und M4 die Mittelpunkte der
Seiten des Vierecks.
Zeigen Sie vektoriell: Verbindet man die Seitenmitten M1, M2, M3 und M4, so erhält man ein
Parallelogramm.

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Die Voraussetzung, dass das Viereck eben sein muss, kann entfallen.

Answer 1

\(\overrightarrow{M_1M_2}=0,5\vec a + 0,5\vec b\)

\(\overrightarrow{M_3M_4}=0,5\vec c + 0,5\vec d\)

\(\vec a + \vec b +  \vec c+\vec d= \vec o\)

\(\vec a + \vec b =- (\vec c+\vec d)\)

\(0,5\vec a + 0,5\vec b =-(0,5\vec c+0,5\vec d)\)

\(\overrightarrow{M_1M_2}=-\overrightarrow{M_3M_4}\)

Answer 2

A = [a1, a2, a3]

B = [b1, b2, b3]

C = [c1, c2, c3]

D = [d1, d2, d3]

M1 = [0.5·(a1 + b1), 0.5·(a2 + b2), 0.5·(a3 + b3)]

M2 = [0.5·(b1 + c1), 0.5·(b2 + c2), 0.5·(b3 + c3)]

M3 = [0.5·(c1 + d1), 0.5·(c2 + d2), 0.5·(c3 + d3)]

M4 = [0.5·(a1 + d1), 0.5·(a2 + d2), 0.5·(a3 + d3)]

M1M2 = [0.5·(c1 - a1), 0.5·(c2 - a2), 0.5·(c3 - a3)]

M4M3 = [0.5·(c1 - a1), 0.5·(c2 - a2), 0.5·(c3 - a3)]

M1M2 = M4M3 → parallel und gleich lang. Damit ist das Viereck aus den Seitenmitten immer ein Paralellogramm.

Man hätte hier auch vereinfacht mit den Vektoren A, B, C und D rechnen können.

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A, B, C und D sind hier die Ortsvektoren der gleichnamigen Punkte.

M1 = 1/2·(A+B)
M2 = 1/2·(B+C)
M3 = 1/2·(C+D)
M4 = 1/2·(A+D)

M1M2 = 1/2·(B+C) - 1/2·(A+B) = 1/2·(C - A)
M4M3 = 1/2·(C+D) - 1/2·(A+D) = 0.5·(C - A)

Answer 3

Vektor \( v+w=r\)  ist parallel zu Vektor \(k+l=s\)

Vektor \( m+u=n\)  ist parallel zu Vektor \(e+j=q\)

Comments

Hast du für deine Aussage auch (abseits deines üblichen Geogebra-Einzelfalls-Gestümper) einen allgemeingültigen Nachweis parat?

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Nein, das habe ich nicht. Die Klammer hättest du dir sparen können. Die Aussage ist überheblich!

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Ja, etwas drastisch formuliert, aber zutreffend. Frage ignoriert, mangels Kompetenz, aber "Antwort" muss wohl sein.

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Wie wäre es, wenn ihr beiden Universitätsmathematiker euch um eine Antwort kümmern würdet.

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Warum? Wir haben manchmal anderes zu tun. Wem nützt denn eine Antwort (die man auch anderswo finden kann)?

Nochmal: wenn Du eine Frage hast, poste sie als Frage und nicht als gestümperte Antwort, für deren Mängel dann andere verantwortlich sein sollen.

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Nochmal: wenn Du eine Frage hast, poste sie als Frage und nicht als gestümperte Antwort, für deren Mängel dann andere verantwortlich sein sollen.

Ich habe gar keine Frage. Die würde ich auch einstellen. Du bist auch gar nicht verantwortlich für meine Antwort. Kannst aber gerne eine unabhängige Antwort einstellen. Dann sind auch FS gut bedient.

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Eigenartiger Weise waren die beiden oberen Antworten noch nicht da, als ich meine Antwort einstellte. Dann hätte ich nichts geschrieben!

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Die FS sind am besten bedient, wenn sie Antworten hier oder anderswo nachlesen. Aber nicht, wenn sie sich gutgläubig mit Antworten beschäftigen, die gar keine sind.

PS: Da hat wohl jemand Fragen zusammengefügt.

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Die Klammer hättest du dir sparen können.

Warum? Das ist die Kernaussage. Der Rest ist Beiwerk.