Komplexe Zahlen - Imaginärteil

Question

(i) Bestimmen Sie Real-, Imaginärteil und Betrag der folgenden komplexen Zahlen:

(a) \( \frac{3+5 i}{7 i+1} \),

(b) \( \frac{1}{(3-i)^{2}} \),

(c) \( \left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\right)^{3} \),

(d) \( i^{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \)

(ii) Bestimmen und skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die folgenden Mengen:

(a) \( \left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im} z^{2}>c\right\}, c \in \mathbb{R} \) fest.

(b) \( \{z \in \mathbb{C}|| z-i|+| z+i \mid<4\} \).

(c) \( \{z \in \mathbb{C}|| z-a|=| 1-\bar{a} z \mid\}, a \in \mathbb{C} \) fest.

Answer 1

(3 + 5·i)/(7·i + 1) = (3 + 5·i)·(7·i - 1) / ((7·i + 1)·(7·i - 1)) = (16·i - 38) / (-50) = 0.76 - 0.32·i

1/(3 - i)^2 = (3 + i)^2 / ((3 - i)^2·(3 + i)^2) = (6·i + 8) / 100 = 0.06·i + 0.08

(- 1/2 + √3/2·i)^3 = 1

i^n = 1 für n mod 4 = 0
i^n = i für n mod 4 = 1
i^n = -1 für n mod 4 = 2
i^n = -i für n mod 4 = 3

Bei (ii) setzt du für z einfach x + yi ein und vereinfachst den Term so weit wie möglich. Dann zeichnest du die Bedingungen.