Verhältnisse im Dreieck

Question

Zeichne ein rechtwinkeliges Dreieck, a:b=4:5, c=7,5 cm und Gamma = 90 Grad

Problem/Ansatz:

Wie beginne ich? Mit c? Wie wende ich den Strahlensatz an?

Answer 1

Hallo Harald,

ich nehme an, das Dreieck soll konstruiert und nicht berechnet werden. Zeichne einen Winkel von \(90°\) und nenne den Scheitel \(C\) und die Schenkel \(a\) und \(b\)..

Zeichen eine Kreis mit beliebigen Radius um \(C\) (schwarz gestrichelt), der die Schenkel in \(T_1\) und \(Q_1\) schneidet. Das Dreieck \(T_1Q_1C\) sollte rechtsdrehend sein. Trage nun die Strecke \(|CT_1|\) auf dem Schenkel \(b\) 5mal und auf dem Schenkel \(a\) 4mal ab, wie in der Skizze zu sehen ist. Du erhältst die Punkte \(T_2\) bis \(T_5\) auf \(b\) sowie \(Q_2\) bis \(Q_4\) auf \(a\). Es sei \(T_5=A'\) und \(Q_4=B'\). Trage nun die Strecke \(c= 7,5\,\text{cm}\) auf der Geraden \(A'B'\) (rot) ab, so dass der neue Endpunkt \(D\) von \(A'\) aus gesehen in Richtung \(B'\) liegt.

Die Parallele zu \(b\) durch den Punkt \(D\) (rot gestrichelt) schneidet \(a\) in Punkt \(B\). Die Parallele zur Gerade durch \(A'B'\) durch den Punkt \(B\) schneidet \(b\) in \(A\).

\(\triangle ABC\) ist das gesuchte Dreieck.

Gruß Werner

PS.: Alternativ kannst Du auch durch \(D\) eine Parallele zu \(a\) zeichnen, die \(b\) in \(Q\) schneidet. Das gesuchte Dreieck ist dann \(\triangle A'DQ\). So spart man sich eine Parallele.

Answer 2

Es geht wohl auch in dieser Aufgabe um die Anwendung vom Satz des Apollonius.

Zunächst mal solltest du einen Kreis mit dem Durchmesser AB=7,5 cm zeichenen.

Wegen des 90°-Winkels in Verbindung mit dem Satz des Thales liegt C irgendwo auf diesem Kreis.

Wegen des Seitenverhältnisses 4;5 liegt C zudem noch auf einen anderen Kreis, für den du einen inneren und einen äußeren Teilpunkt von AB mit dem Streckenverhältnis 4:5 brauchst.

Comments

Ohne Apollonius mit Strahlensatz :

 

Answer 3

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, a:b=4:5, c=7,5 cm und γ = 90 °

Wenn kein anderer Weg vorgegeben ist:

1.) a^2+b^2=c^2

1.) a^2+b^2=7,5^2   →1.)a^2 = 7,5^2- b^2

2.)\( \frac{a}{b} \) =\( \frac{4}{5} \)  → 2.) a=\( \frac{4}{5} \) b  → 2.)       a^2 =\( \frac{16}{25} \) b^2

1.)=2.)

7,5^2- b^2=\( \frac{16}{25} \) b^2

\( \frac{16}{25} \) b^2+\( \frac{25}{25} \) b^2=7,5^2

\( \frac{41}{25} \) b^2=7,5^2|\( \sqrt{} \)

b≈5,86

a≈\( \frac{4}{5} \)*5,86=4,688

Answer 4

immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat.

c=7,5 cm ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck

c liegt unten,waagerecht

1) ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen,wie es im Mathe-Formelbuch steht,Kapitel → Geometrie

2) eine paralle Gerade zu Seite c zeichnen,die näher an den rechten Winkel 90° liegt

siehe,Geometrie,Strahlensatz,Vierteproportionale,Ähnlichkeiten,ähnliche Dreiecke

in der Zeichnung sehen wir nun 2 ähnliche rechtwinklige Dreiecke

1) kleines rechtwinklige Dreieck

2) großes rechtwinklige Dreieck

bei ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Seitenverhältnisse konstant

mit a/b=4/5  wählen wir a´/b´=4/5   wir wählen frei b´=1 cm → a´=4/5*1 cm=4/5 cm

1) kleines Dreieck b´/x=n mit b´=1 cm

2) großes Dreieck b/c=n

gleichgesetzt

b´/x=b/c mit c=7,5 cm

Den Rest schaffst du wohl selber.Die Aufgabe kannst du auch zeichnerisch lösen oder mit dem Satz des Pythagoras

c²=a²+b²  mit a/b=4/5 → a=4/5*b