Seien (X,d) ein metrischer, x0 e X und epsilon>0 ... Zeige

Question

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Seien \( (X, \mathrm{~d}) \) ein metrischer Raum, \( x_{0} \in X \) und \( \varepsilon>0 . \) Zeigen Sie:
(a) \( \overline{U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)} \subseteq K_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) \)
(b) Ist \( X \) ein normierter Raum, d. h. \( X \) ist ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum und \( \mathrm{d} \) ist von einer Norm induziert, so gilt in (a) sogar Gleichheit. Geben Sie auch ein Beispiel an, in dem \( \overline{U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)} \neq K_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) \) gilt und begründen Sie dies.

Wie zeige ich das?

Comments

Wie ist U (Ich gehe davon aus, dass das die Umgebung sein soll?) definiert bzw. Wo liegt der unterschied zur Definition der Epsilon Kugel?

Ist ja bestimmt irgendwie über einen Abstand definiert, also U?

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Ur(x0) := {x ∈ M : d(x, x0) < r}

r wird dann wohl epsilon sein. So genau hab ich das auch nicht verstanden, deswegen die Frage. Eine andere Definition hatten wir auch nicht.

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Für mich ergibt das irgendwie keinen Sinn, weil die Kugel doch bei euch dann genauso definiert ist oder? Es muss ja einen unterschied zwischen diesen beiden Mengen geben? Sonst kann die Mengeninklusion niemals gelten. Vergleiche bitte mal beide Definitionen mit einander, existiert ein unterschied?