Metrischer Raum mit Abstandsfunktion

Question

Guten Tag Community,

ich bitte um Hilfe bei der Lösung folgender Aufgabe.

" Sei X ein metrischer Raum mit Abstandsfunktion ρ. Sei weiter x₀ ∈ X und ε eine positive reelle Zahl.

a) Zeigen Sie, dass die Kugelumgebung K_ε (x₀) := { x ∈ X | ρ ( x, x₀ ) < ε } eine offene Teilmenge von X ist."

Falls es nicht zuviel verlangt ist, wäre ich für den Lösungsweg ebenfalls dankbar, so dass ich verstehe, wie Sie/du herangegen sind / bist.

Anmerkung: Ich entschuldige mich für eventuelle falsche Betitelung und oder falscher Verfassung dieses Textes. Falls eines der beiden zutrifft.

Freundliche Grüße

Serano

Comments

Zu zeigen ist: \(K_\varepsilon(x_0)\) ist offen. Durchsuche Deine Unterlagen: Wann ist eine Menge in einem metrischen Raum offen? Wie geht die Definition?

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wäre die Lösung folgenderweise?

Sei x₀ ∈ X und ε > 0 ∈ ℝ.

K_ε(x₀) = { x ∈ X | ρ ( x, x₀ ) < ε }

Eine Teilmenge U eines metrischen Raumes X heißt offen, wenn Sie Umgebung jeder ihrer Punkte ist, d.h. wenn zu jedem x ∈ U ein ε > 0 existiert, so dass

K_ε (x) ⊂ U
________________________

ist ( a, b ) = { x ∈ ℝ | a < x < b ) wichtig?

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Nachdem Du die Definition jetzt gefunden hast, musst Du sie nur noch auf \(K_\varepsilon(x_0)\) anwenden: Zu jedem \(x\in K_\varepsilon(x_0)\) soll ein \(\overline\varepsilon\) mit \(K_{\overline\varepsilon}(x)\subset K_\varepsilon(x_0)\) existieren. Eine Skizze zeigt sofort, wie man \(\overline\varepsilon\) waehlen kann. Der formale Nachweis, dass alles klappt, geht mit der Dreiecksungleichung.

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Könntest du zeigen wie so eine Dreiecksungleichung gemacht wird ? Ich verstehe das Prinzip, kann es aber nicht anwenden...

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Mich wuerde interessieren, ob Du die Skizze gemacht hast und ein passendes \(\overline\varepsilon\) angeben kannst. Dann kann man weitersehen.

Answer 1

Hallo

 da in der Definition von offenen Mengen immer ein ε vorkommt, stell dir das gegebenen ε lieber als r vor, dann wende einfach die Definition von offen an, und benutze die Dreiecksungleichung.

beachte dabei  dass d(x_0,x)< r bei <= wäre die Menge nicht offen.

Gruß lul

Comments

Könntest du vielleicht zeigen wie du das machen würdest? Ich weiß zwar selbst was eine Dreiecksungöeichung ist, doch kann sie nicht  anwenden...

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Könntest du vielleicht zeigen wie du das machen würdest? Ich weiß zwar selbst was eine Dreiecksungleichung ist, doch kann sie nicht  anwenden...