Bestimmen sie eine Basis von und berechnen Sie die Dimension von U

Question

Aufgabe:Teilmenge U von Rhoch4 sei gegeben durch v1,v2,v3,v4 mit v1-v2-v3 = 0 und v2+2v3-v4 = 0

Bestimmen sie eine Basis von und berechnen Sie die Dimension von U

Problem/Ansatz:

Ich habe im Moment keine Plan oder Ansatz wie ich das angehe, bisher gab es immer Vektoren z. b. v1(1,0,3) oder so

Wäre für eine Hilfe dankbar

Answer 1

v1-v2-v3 = 0 und v2+2v3-v4 = 0

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Danke für die Antwort, soweit kam ich auch schon das liefert mir eine Matrix von

1 -1 1 o

0 1 2  -1

Treppenform ist

1 0 3 -1

0 1 2 -1

D. Rang ist zwei , doch ist das jetzt eine Basis ?

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Die Matrix, die man bekommt indem du die erweiterte Koeffizientenmatrix in Treppenform umformt, ist nicht Lösung des Gleichungssystems.

Die Lösungsmenge ist eine Menge von Vektoren, die du mittels der Treppenform bestimmen kannst. Gib die Lösungsmenge an, dann siehst du eine Basis von \(U\).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Mit den beiden Gleichungen formulieren wir ein Gleichungssystem und lösen es:$$\begin{array}{rrrr|c|l}v_1 & v_2 & v_3 & v_4 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & -1 & 0 & 0 &+\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 2 & -1 & 0 &\\\hline1 & 0 & 1 & -1 & 0 &\\0 & 1 & 2 & -1 & 0 &\\\hline\end{array}$$

Mehr Spalten, die genau eine \(1\) und sonst nur \(0\)en enthalten, können wir nicht erzeugen, daher lässt sich das System nicht mehr weiter vereinfachen. Die erhaltenen Gleichungen lauten:$$v_1+v_3-v_4=0\quad;\quad v_2+2v_3-v_4=0$$Diese stellen wir nun nach \(v_1\) bzw. \(v_2\):$$v_1=-v_3+v_4\quad;\quad v_2=-2v_3+v_4$$

Damit kannst du nun alle Vektoren \(\vec v\in U\subset\mathbb R^4\) angeben:

$$\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-v_3+v_4\\-2v_3+v_4\\v_3\\v_4\end{pmatrix}=v_3\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+v_4\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit hast du zwei Basis-Vektoren konstruiert, aus denen du alle Vektoren \(\vec v\in U\) erzeugen kannst.

$$\text{Basis}(U)=\left(\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}\;\Bigg|\;\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Comments

Danke für die wirklich ausführliche Darstellung, mein Dank wird dir ewig nachschleichen und dich nie erreichen. :-)

(ich bin ein 62 jähriger Oldtimer der auf die alten Tage noch ein Mathestudium angefangen hat, einfach so nur um die Birne fit zu halten)

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Man ist nie zu alt, um sich an den schönen Dingen auf dieser Welt zu erfreuen, und die Mathematik gehört sicherlich dazu ;)

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ch habs ge blickt