Berechnen Sie das Volumen des Bereiches im ersten Oktanten

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des beschränkten Bereiches im ersten Oktanten (das ist der
Bereich mit ausschließlich positiven Koordinaten), der von den Flächen z = x^2 + 2y
und z = y + 1 begrenzt wird, mittels Dreifachintegral.

Ansatz:

D= {(x,y,z) : 0 ≤ x ≤ \( \sqrt[2]{z-2y} \), 0 ≤ y ≤ 1, 2y ≤ z ≤ y+1}

Dreifachintegral (dxdzdy)

Nach den ausintegrieren komme ich auf 4/15

stimmt das?

Answer 1

Aloha :)

Ich habe deine Parametrisierung nicht ganz verstanden. Wir haben folgende Grenzflächen:$$z=x^2+2y\quad;\quad z=y+1$$Das heißt doch für die Grenzflächen:$$x^2+2y=z=y+1\implies y=1-x^2\implies z=2-x^2$$Da wir uns im ersten Quadranten aufhalten, heißt das:$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[0;1-x^2]\quad;\quad z\in[0|2-x^2]$$

Das Volumen ist dann:

$$V=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x^2}\int\limits_{z=0}^{2-x^2}dx\,dy\,dz=\int\limits_{x=0}^1\left(\int\limits_{y=0}^{1-x^2}dy\right)\left(\int\limits_{z=0}^{2-x^2}dz\right)dx=\int\limits_0^1(1-x^2)(2-x^2)dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_0^1(2-3x^2+x^4)dx=\left[2x-x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=2-1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$$

Comments

Wissen Sie zufällig, wie ich mir die Entstehung des Volumina geometrisch vorstellen kann?

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Ich bin leider im Umgang mit solchen Grafik-Tools, die das anzeigen können, nicht geübt.

\(z=x^2+2y\) ist ein parabolische Zylinder. Wolfamalpha zeichnet den so:

Jetzt stell dir darauf einen "Deckel" mit \(z=y+1\) vor.

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Könnte es sein, dass Sie bei den Grenzen von z einen Fehler gemacht haben?

Sollte es nicht von x²+2y nach y+1 gehen bzw. von 0 nach 1-x²-y?