Wie lauten die Koordinaten seiner Ecke „P“?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve: f (x) = - (1/2)x^2 + 8.

Dem von der „x“ – Achse abgeschnittenen Parabelsegment ist das Trapez grössten
Flächeninhalts einzubeschreiben (vgl. Skizze,). Wie lauten die Koordinaten seiner Ecke „P“?

Problem/Ansatz:

Extremwert

Fehler: Dateityp „docx“ ist nicht erlaubt.

Text erkannt:

\( \pi \)

Answer 1

Hallo,

Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des Trapezes \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h\). Wegen der Achsensymmetrie genügt es, mit einer Hälfte zu rechnen.

a = 4 = rechte Nullstelle der Parabel

c = p

h = f(p)

In die Formel eingesetzt erhältst du

\(A=\frac{4+p}{2}\cdot(-0,5p^2+8)\)

Löse die Klammer auf, bilde die 1. Ableitung, setze sie gleich = 0, berechne damit das Maximum und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

Die Fläche des Trapez A,B,P,D soll maximal werden.

f(x)=-0,5x^2+8

-0,5x^2+8=0

x₁=-4

x₂=4

A(-4|0), B(4|0),P(u|-0,5u^2+8)

Fläche eines Trapez:

A(u)=\( \frac{8+2u}{2} \)*(-0,5u^2+8)=(4+u)*(-0,5u^2+8)

A´(u)=(-0,5u^2+8)+(4+u)*(-u)=-0,5u^2+8-4u-u^2=-1,5u^2-4u+8

-1,5u^2-4u+8=0

u₁=-4

x₂=\( \frac{4}{3} \)

Koordinaten: ....

Comments

Herzlichen Dank. Super.

Answer 3

f(x)=-0,5*x²+8 Nullstellen x²=8/0,5=16  → x1,2=+/-Wurzel(16)=+/-4

x1=-4 und x2=4

rechts neben der y-Achse ist die Fläche A=Rechteckfläche+Dreieckfläche

A=Ar+Ad=a*b+1/2*a*b    Fläche vom rechtwinkligen Dreieck A=1/2*a*b

1) A=a*b+1/2*f(x)*c mit c=4-a

2) a=x ist die Laufvariable von Ursprung aus nach rechts → 4=x+c

3) b=f(x)=-0,5*x²+8

4) c=4-x

2),3) und 4) in 1)

A(x)=x*(-0,5*x²+8)+1/2*[(-0,5*x²+8)*(4-x)]

A(x)=-1/2*x³+8*x+1/2*(-2*x²+32+1/2*x²-8*x)

A(x)=-1/2*x³+8*x-1*x²+16+1/4*x²-4*x

A(x)=-0,5*x³-3/4*x²+4*x+16  mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) 

xmax=1,2078  Amax=18,856 FE → ist die Hälfte der gesuchten Fläche

nun eine Kurvendiskussion durchführen → ableiten → Extrema ermitteln

A´(x)=0=.... Nullstellen berechnen

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

A´´x)=...

Den Rest schaffst du selber

Infos

Text erkannt:

"Satteipunkt" \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) and \( f^{\prime} \cdot(x) \) NULL \( f^{\prime}(x)=0 \)
Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) istt tenderer Wendepunkt, bei dem die Tangentensteigung in besonderer NOLL is Die Tangente liegt sonit "parallel" zur x-Achse. \( f^{\prime}(x)=m \)
Der "hendepunkt" trennt 2 Kurvenbögen, "konkav" und "konvex" Kriimmung "k" aus dem Mathe-Formelbuch, Xapite1, "Differentialgeometrie!. Forme1 \( k=y^{\prime \prime} /\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrümung) von oben gesehen \( k>0 \) konkav (Linkskrümang) von oben gesehe
Parabe1 \( f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \)
\( f^{\prime}(x)=2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=2^{*} \mathrm{a} 2 \quad \) hat somit "keinen Kendepunkt"
\( f^{\prime}(x)=3 * a 3^{*} x^{2}+2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=6 *_{\mathrm{a}} 3 *_{\mathrm{x}}+2^{*} \mathrm{a} 2 \quad \) hat "immer einen Vendepunkt"
\( f^{\prime \prime} \cdot(x)=6^{*} a 3 \)
biquadratische Punktion Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Punktion 4.Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a 0 \)
\( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 2^{*} x^{2}+a o \) ist die "biquadratische Funktion" Substitution (ersetzen) \( z=x^{2} \) fuhrt zur Form einer "Parabel" \( \underline{f(z)=a 4 z z^{2}+a 2^{*} z+a o} \) Nullstellenermittlung üer die p-q-Forme1 \( x 1,2=-p / 2+/-\sqrt{ \left.(p / 2)^{2}-q\right)} \)
Die biquadratische Funktion 1fegt "achssymetrisch" zur y-Achse. Bedingung "Achssymmetrie" \( \mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(-\mathrm{x}) \) und Exponenten n=gerade "Punktsymmetrie" \( \mathrm{f}\left(\begin{array}{ll}\mathrm{x})=-1^{*} \mathrm{f}(-\mathrm{x}) & \text { " } & \text { n=ungerade }\end{array}\right. \)

 ~plot~-0,5*x^3-3/4*x^2+4*x+16;[[-5|5|-5|25]];x=1,208~plot~

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Schönen Dank.