f(x)=-0,5*x²+8 Nullstellen x²=8/0,5=16 → x1,2=+/-Wurzel(16)=+/-4
x1=-4 und x2=4
rechts neben der y-Achse ist die Fläche A=Rechteckfläche+Dreieckfläche
A=Ar+Ad=a*b+1/2*a*b Fläche vom rechtwinkligen Dreieck A=1/2*a*b
1) A=a*b+1/2*f(x)*c mit c=4-a
2) a=x ist die Laufvariable von Ursprung aus nach rechts → 4=x+c
3) b=f(x)=-0,5*x²+8
4) c=4-x
2),3) und 4) in 1)
A(x)=x*(-0,5*x²+8)+1/2*[(-0,5*x²+8)*(4-x)]
A(x)=-1/2*x³+8*x+1/2*(-2*x²+32+1/2*x²-8*x)
A(x)=-1/2*x³+8*x-1*x²+16+1/4*x²-4*x
A(x)=-0,5*x³-3/4*x²+4*x+16 mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
xmax=1,2078 Amax=18,856 FE → ist die Hälfte der gesuchten Fläche
nun eine Kurvendiskussion durchführen → ableiten → Extrema ermitteln
A´(x)=0=.... Nullstellen berechnen
nun prüfen,ob Maximum oder Minimum
A´´x)=...
Den Rest schaffst du selber
Infos
Text erkannt:
"Satteipunkt" \( f^{\prime \prime}(x)=0 \) and \( f^{\prime} \cdot(x) \) NULL \( f^{\prime}(x)=0 \)
Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) istt tenderer Wendepunkt, bei dem die Tangentensteigung in besonderer NOLL is Die Tangente liegt sonit "parallel" zur x-Achse. \( f^{\prime}(x)=m \)
Der "hendepunkt" trennt 2 Kurvenbögen, "konkav" und "konvex" Kriimmung "k" aus dem Mathe-Formelbuch, Xapite1, "Differentialgeometrie!. Forme1 \( k=y^{\prime \prime} /\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrümung) von oben gesehen \( k>0 \) konkav (Linkskrümang) von oben gesehe
Parabe1 \( f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \)
\( f^{\prime}(x)=2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=2^{*} \mathrm{a} 2 \quad \) hat somit "keinen Kendepunkt"
\( f^{\prime}(x)=3 * a 3^{*} x^{2}+2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)=6 *_{\mathrm{a}} 3 *_{\mathrm{x}}+2^{*} \mathrm{a} 2 \quad \) hat "immer einen Vendepunkt"
\( f^{\prime \prime} \cdot(x)=6^{*} a 3 \)
biquadratische Punktion Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Punktion 4.Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a 0 \)
\( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 2^{*} x^{2}+a o \) ist die "biquadratische Funktion" Substitution (ersetzen) \( z=x^{2} \) fuhrt zur Form einer "Parabel" \( \underline{f(z)=a 4 z z^{2}+a 2^{*} z+a o} \) Nullstellenermittlung üer die p-q-Forme1 \( x 1,2=-p / 2+/-\sqrt{ \left.(p / 2)^{2}-q\right)} \)
Die biquadratische Funktion 1fegt "achssymetrisch" zur y-Achse. Bedingung "Achssymmetrie" \( \mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(-\mathrm{x}) \) und Exponenten n=gerade "Punktsymmetrie" \( \mathrm{f}\left(\begin{array}{ll}\mathrm{x})=-1^{*} \mathrm{f}(-\mathrm{x}) & \text { " } & \text { n=ungerade }\end{array}\right. \)
~plot~-0,5*x^3-3/4*x^2+4*x+16;[[-5|5|-5|25]];x=1,208~plot~