Berechnen Sie die Richtung v des stärksten Anstiegs von f im Punkt (1,-1,1)

Question

Gegeben ist die Funktion f (x,y,z) = e^{(x-1)^2} +10arctan(y² z+x).

Berechnen Sie die Richtung v(Spaltenvektor) = (a b c) mit ||v||=1 des stärksten Anstiegs von f im Punkt (1,-1,1)

Es ist \( \sqrt{6} \)a = ____    \( \sqrt{6} \)b=_____    \( \sqrt{6} \)c = ______

in ___ soll etwas eingetragen werden.

Comments

Wo liegt das Problem? Du hast als Tag bereits "Gradient" verwendet.

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Ja aber es ist nicht direkt der Gradient gefragt sondern \( \sqrt{6} \)a= _____

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Ja aber es ist nicht direkt der Gradient gefragt sondern

Wieso? Der ist doch nützlich.

Answer 1

$$v=\frac{\operatorname{grad}f(1,-1,1)}{||\operatorname{grad}f(1,-1,1)||}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2\\-4\\2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}$$ D. h., dass \(\sqrt{6}a=1\), \(\sqrt{6}b=-2\) und \(\sqrt{6}c=1\).

Comments

könntest du bitte sagen wie hast du im nenner 2*wurzel 6 raus bekommen?

bedanke mich

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Es gilt:$$\operatorname{grad}f(x,y,z)=\frac{1}{(x+y^2z)^2+1}\begin{pmatrix} 10+2(x-1)((x+y^2z)^2+1)e^{(x-1)^2}\\20yz\\10y^2 \end{pmatrix}$$ Ausgewertet in \((1,-1,1)\) gilt also \(\operatorname{grad}f(x,y,z)=(2,-4,2)^T\). Der Betrag ist $$\sqrt{2^2+4^2+2^2}=\sqrt{2^2+2^4+2^2}=\sqrt{2^2(1+2^2+1)}=2\sqrt{6}$$

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f(x,y)=((y−3)^2)*cos(2x)+ye^(x^2)
Bestimmen Sie eine Richtung
v=(spalten vektor v1 v2)mit ∥v∥=1, sodass die Steigung von f in Richtung v im Punkt(0,1)gleich null ist.

dann ist zu v1 und v2 zu suchen und Berechnen Sie weiterhin den stärksten Anstieg im Punkt (0,1):

könntest du bitte mir vielleicht mit dieser aufgabe helfen bedanke mich

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Was hast du denn bereits versucht?

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ich habe schon gradianten berechnet aber komme nicht klar wie ich die werten von v1 und v2 raus bekomme.Meiner meinung nach wenn ich die punkten in gradiant einsetze bekomme ich den stärksten anstieg richtig? daher bin verzweiflt wie ich die werten von v1 und v2 raus bekomme

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Was hast du denn als Gradient?

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das ist der ersten gradient 2yxe^(x^2)−2(y−3)^2*sin(2x)

zweiten 2cos(2x)(y−3)+e^(x^2)

bedanke mich wenn du mich damit helfen kann

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ich habe dann punkte in gradiant eingesetzt und habe v1= 0 und v2=- 3 raus und -1 als anstieg soll das so richtig sein?

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könntest du bitte mir vielleicht dazu helfen?ich danke

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f(x,y)=((y−3)2)*cos(2x)+ye^(x2)
Bestimmen Sie eine Richtung
v=(spalten vektor v1 v2)mit ∥v∥=1, sodass die Steigung von f in Richtung v im Punkt(0,1)gleich null ist. Berechnen Sie weiterhin den stärksten Anstieg im Punkt (0,1)

Du hast den Gradient richtig berechnet. Es gilt:$$\operatorname{grad}f(x,y)=\begin{pmatrix} 2e^{x^2}xy-2(y-3)^2\sin(2x)\\e^{x^2}+2(y-3)\cos(2x) \end{pmatrix}$$Weiter ist \(||\operatorname{grad}f(x,y)||\) ist ein Maß für die Steilheit an der Stelle \((x,y)\). Es gilt \(||\operatorname{grad}f(0,1)||_2=\left | \left | \begin{pmatrix} 0\\-3 \end{pmatrix}\right | \right |_2=3\).

Es gilt \(\partial _vf(0,1)=\operatorname{grad}f(0,1)\cdot v=-3v_2=0 \Rightarrow v_2=0\). Weiter soll \(||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{v_1^2}=|v_1|=1 \Rightarrow v_1=\pm 1\).

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Kannst du mir bitte sagen, wie du auf 3 kommst ?

Macht man einfach die 3 aus \( \begin{pmatrix} 0\\-3 \end{pmatrix} \) positiv ?