Eine Schraubenfeder ist durch die Kurve
\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \\ \frac{1}{2} t \end{array}\right), t \in[0,4 \pi] \)
mit der Linienmassendichte \( \rho(x, y, z)=z \) gegeben.
a) Bestimmen Sie die Masse \( M \) der Kurve \( \gamma \) :
\( M=\int \limits_{\gamma} \rho(x, y, z) d s \)
b) Bestimmen den Schwerpunkt \( S=\left(\begin{array}{c}S_{x} \\ S_{y} \\ S_{z}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) der Kurve \( \gamma \)
Hinweis: aus der Mechanik weiß man
\( S_{x}=\frac{1}{M} \int \limits_{\gamma} x \cdot \rho(x, y, z) d s, \quad S_{y}=\frac{1}{M} \int \limits_{\gamma} y \cdot \rho(x, y, z) d s, \quad S_{y}=\frac{1}{M} \int \limits_{\gamma} z \cdot \rho(x, y, z) d s \)
