Hallo,
zunächst solltest du das charakteristische Polynom berechnen. Hier bietet sich, um die Determinante zu berechnen, nach der vierten Spalte zu entwickeln. Du erhältst:$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda & 0 \\ 9 & 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}=(\lambda-1)^3(\lambda-3)\overset{!}=0$$ Du hast also den Eigenwert \(\lambda_{1,2,3}=1\) mit algebraischer Vielfachheit \(\operatorname{alg}(\lambda_{1,2,3})=3\) und den Eigenwert \(\lambda_4=3\) mit \(\operatorname{alg}(\lambda_{4})=1\).
Der Hauptraum ist eine Verallgemeinerung des Eigenraum-Begriffs. Es gilt:$$\operatorname{Hau}(A,\lambda_{1,2,3})=\operatorname{ker}(A-\lambda E)^{3} \\ \operatorname{Hau}(A,\lambda_{4})=\operatorname{ker}(A-\lambda E)$$
