Bilden die Bernsteinpolynome dritten Grades eine Basis im Raum der Polynome höchstens 3. Grades über [0,1]?

Question

Geben Sie die Bernsteinpolynome dritten Grades in der Form

B_i³(t) = a_i t³+ b_i t²+ c_i t + d_i             (i=0,1,2,3)

an und beweisen Sie, dass diese Polynome eine Basis im Raum der Polynome höchstens 3. Grades über dem Intervall [0,1] bilden. Ermitteln Sie die Transformationsmatrix bezüglich der Monombasis (1,t,t²,t³) und begründen Sie deren Regularität.

Answer 1

Hallo,

die Bernsteinpolynome dritten Grades sind definiert durch:$$B_i^3 : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, \, t\mapsto \begin{pmatrix}3\\i \end{pmatrix}t^i(1-t)^{3-i} \quad \text{mit } 0\leq i\leq n$$ Damit \(\mathcal{B}:=(B_0,B_1,B_2,B_3)\) eine Basis im Raum der Polynome höchstens 3. Grades über dem Intervall \([0,1]\) bildet, muss \(\mathcal{B}\) ein minimales Erzeugendensystem bzw. maximales linear unabhängiges System sein. Zum Nachweis für die lineare Unabhängigkeit bietet sich die Wronski-Determinante an.

Eine Transformationsmatrix transformiert von einer Basis zur anderen Basis. Soll eine Basistransformation von \(\mathcal{B}\) nach \(\mathcal{C}=(1,t,t^2,t^3)\) durchgeführt werden, d. h. suchst du \(_{\mathcal{C}}M(\operatorname{id})_{\mathcal{B}}\)?