Berechnung der Riemannschen Summe zur Funktion f(x) = e^{x^2}

Question

Berechnen Sie eine Riemannsche Summe zur Funktion f(x)=e^{x^2} für das Intervall [0,1] indem Sie eine Zerlegung von [0, 1] in sechs Teilintervalle sowie Zwischenstellen wählen.
Welche Approximation für das Integral erhalten Sie mit Ihrer Riemannschen Summe ?

$$ \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { x 2 } d x = 1.46365 $$

Comments

Illustration.

Du sollst hier die Fläche zwischen der blauen Kurve, der x-Achse, der y-Achse und der Grenze x=1 näherungsweise durch 6 vertikale Säulenflächen berechnen. Die einzelnen Säulen haben deshalb eine Breite von 1/6. Als Höhe nimmt man den jeweiligen Funktionswert. Für Untersummen den kleinsten im Intervall, für Obersummen den grössten.

Julian Mi hat die Rechnung bereits ausgeführt. 

Answer 1

Die allgemeine Definition der Riemannschen Summe einer Funktion f auf dem Intervall [a, b] lautet:

$$ S = \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( \xi _ { k } \right) \left( x _ { k + 1 } - x _ { k } \right) $$

wobei die ξ_k beliebige Zwischenwerte im Intervall [x_k, x_k+1] sind. Außerdem gilt x₁ = a, x_n+1 = b.

Man kann z.B. die Obersumme ausrechnen, also stets ξ_k = x_n+1 wählen. Dann landet man am Ende ein Stück über dem tatsächlichen Wert des Integrals.

Bei der Einteilung liegt es natürlich nahe, das Intervall [0, 1] in sechs gleich große Teilintervalle der Länge 1/6 zu teilen.

⇒x_k+1 - x_k = 1/6 für alle k.

und ξ_k = k/6, also f(ξ_k) = e^k²/36

Damit erhält man die Summe:

$$ S = \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( \xi _ { k } \right) \left( x _ { k + 1 } - x _ { k } \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { n } e ^ { \frac { k ^ { 2 } } { 36 } } \cdot \frac { 1 } { 6 } \\ = \frac { 1 } { 6 } \left( e ^ { \frac { 1 } { 36 } } + e ^ { \frac { 4 } { 36 } } + e ^ { \frac { 9 } { 36 } } + e ^ { \frac { 16 } { 36 } } + e ^ { \frac { 25 } { 36 } } + e ^ { \frac { 36 } { 36 } } \right) \approx \frac { 1 } { 6 } \cdot 9.7102 \approx 1.618 $$

Das ist noch eine relativ große Abweichung.

Berechnet man die Untersumme erhält man S ≈ 1.165

Um den Wert zu verbessern muss man eben mehr Teilintervalle dazunehmen.