n! ≤ n^n (Vollständige Induktion)(Ungleichung)

Question

Ich soll folgendes mit vollständiger Induktion beweisen:

"Für jedes n∈N gilt n! ≤ \( n^{n} \) "

IA: n=2: 2! = 2 ≤ \( 2^{2} \) = 4 (Stimmt)

IV: n! ≤ \( n^{n} \) : ∀n∈ℕ

IS: n -> n+1

(n+1)! ≤ \( n+1^{n+1} \)

Wie muss ich weiter vorgehen?

Answer 1

Der Induktionsanfang müsste mit n=1 gemacht werden.

IV: n! ≤ \( n^{n} \) : ∀n∈ℕ

Dass das für alle n gilt, soll erst bewiesen werden.

(n+1)! ≤ \( n+1^{n+1} \)

Hier fehlen Klammern.

(n+1)! ≤ \( (n+1)^{n+1} \) soll gezeigt werden.

(n+1)!

=n!*(n+1)

≤n^n *(n+1)

≤(n+1)^n *(n+1)

=(n+1)^{n+1}

Dabei habe ich vorausgesetzt, dass n^n<(n+1)^n ist. Vielleicht muss das noch extra bewiesen werden.

:-)

Comments

Dankeschön! :-)

Answer 2

Die Aussage ist falsch. Für x=0  gilt sie z.B. nicht.

Comments

Ist 0 eine natürliche Zahl?

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Die Aussage wurde für n gemacht. Ich gehe davon aus, dass sie aber für beliebige x gelten soll.

Inzwischen hat dert Fragesteller aber seinen Unfug mit dem Geschisch aus n und x stillschweigend korrigiert.

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Sorry abakus! :D