$$\text{ Zeigen Sie, dass }(\mathbb{R},+)\text{ über }(\mathbb{R},+,.)\text{ ein endlichdimensionaler Vektorraum,}$$
Dass es ein Vektorraum ist, ist schon klar ( ansonsten alle Axiome prüfen) .
1 ist eine Basis; denn jedes x∈ℝ ist x*1
$$\text{ aber über }(\mathbb{Q},+,.)\text{ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist. }$$
Für alle Primzahlen p ist die (unendliche) Familie √p linear unabhhängig über dem Körper ℚ;
Denn jede Linearkombination von solchen Wurzeln ist nur 0, wenn alle
Koeffizienten 0 sind.