und die Vektormenge M = {2, √2, √8}.
Aufgabe ist zu zeigen das die Vektoren {2, √2, √6} linear unabhängig sind.
Also Sinn machen durchaus beide Aufgaben, allerdings ist die erste
Vektormenge linear abhängig, denn √8 = 2*√2
also ist √8 = 0*2 + 2*√2 eine Linearkombination von 2 und √2 ,
welche den 3. Vektor darstellt.
Bei {2, √2, √6} ist die Menge lin. unabhängig.
Dazu muss man für jeden der drei prüfen, ob er durch die anderen beiden
darstellbar ist, oder mit dem Ansatz x*2 +y*√2 + z*√6 = 0zeigen, dass daraus
x=y=z=0 folgt.
Ich versuche mal die zweite Version:
x*2 +y*√2 + z*√6 = 0
x*2 +y*√2 + z*√2*√3 = 0
x*2 + (y*+ z*√3)*√2= 0 nun ist ja bekannt , dass Summe und Produkt je einer
rationalen und einer irrationalen Zahl immer irrational ist, außer beim Produkt
einer irrationalen Zahl mit 0. #
Betrachte also x*2 + (y*+ z*√3)*√2= 0
1. Fall x=0 dann muss auch die Klammer 0 sein,
also y*+ z*√3 = 0 somit y = - z*√3
wäre y oder z ungleich 0, hätte man eine rat. Zahl
gleich einem Produkt rat*irrat Widerspruch zu #, also sind
y und z beide 0.
2. Fall x ≠ 0
dann ist - 2x = (y*+ z*√3)*√2 mit rationalen x,y,z ##
also sind auch die Quadrate gleich
4x^2 = (y*+ z*√3)^2 * 2 | :2
2x^2 = (y*+ z*√3)^2
2x^2 = y^2 + 2yz√3 + 3z^2
2x^2 - y^2 - 3z^2 = 2yz√3
links ist alles rational und rechts rational * irrational, also
2yz = 0 und damit y = 0 oder z=0
Das gibt bei ## die beiden Möglichkeiten
1. Unterfall: y=0 also - 2x = z*√3*√2 = z*√6
und damit wieder links rational und rechts rational * irrational,
................... also auch z=0.
2. Unterfall: z=0 also wird aus ## - 2x = y*√2
und damit - wie oben argumentiert - y=0
also in beiden Fällen y=0 und z=0
Dann bleibt aber von der ursprünglichen Gleichung nur noch
x*2=0 also x=0. Im Widerspruch zur Annahme x ≠ 0.
Der 2. Fall kann also nicht eintreten und damit ist gezeigt
x=y=z=0 also die Vektoren lin. unabh.
