Logik Minimalform bei einer Tautologie bilden.

Question

Aufgabe:

Folgender logischer Term ist gegeben:

(¬X∨Y) ∧ (¬X∨¬Z) ∨ (X∨¬Y∨Z)

Nun soll die Minimalform gebildet werden.

Problem/Ansatz:

Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle habe ich herausgefunden, dass es sich um eine Tautologie handelt.

Wie bildet man eine Minimalform bei einer Tautologie oder ist dies möglich?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden \(\cdot\) statt \(\land\) und \(+\) statt \(\lor\) um Tipparbeit und Klammern zu sparen (Punkt-vor-Strich). Dann kann man den Ausdruck wie folgt umformen:

$$A(X,Y,Z)=(\overline X+Y)(\overline X+\overline Z)+(X+\overline Y+Z)$$$$\phantom{A(X,Y,Z)}=\underbrace{\overline X\,\overline X}_{=\overline X}+Y\overline X+\overline X\,\overline Z+Y\overline Z+X+\overline Y+Z$$$$\phantom{A(X,Y,Z)}=\underbrace{(\overline X+X)}_{=1}+(Y\overline X+\overline X\,\overline Z+Y\overline Z+\overline Y+Z)$$$$\phantom{A(X,Y,Z)}=1$$

Der Ausdruck ist immer wahr. Es handelt sich also tatsächlich um eine Tautologie.

Daher lautet die Minimalform: \(A(X,Y,Z)=1\).

Comments

Alles klar, vielen Dank.