Wenn man zwei Matrizen A und B miteinander multiplizieren kann, sind die Zeilen von A gleich lang wie die Spalten von B.
Transponieren vertauscht die Rollen von Spalten und Zeilen.
Daher sind die Zeilen von B^T gleich lang wie die Spalten von A^T.
Somit existiert B^T A^T, wenn AB existiert.
Nun ist noch zu zeigen:
(AB)^T = B^T * A^T
Beweis:
Das Element in der n-ten Zeile und m-ten Spalte von (AB)^T ist das Element in der m-ten Zeile und n-ten Spalte in AB. Es resultiert aus der Multiplikation der m-ten Zeile von A mit den n-ten Spalte von B.
Das Element in der n-ten Zeile und m-ten Spalte von B^T * A^T resultiert aus der Multiplikation der n-ten Zeile von B^T mit den m-ten Spalte von A^T. Das ist die Multiplikation der n-ten Spalten von B mit der m-ten Zeile von A. und weil das Skalarprodukt kommutativ ist, dasselbe wie die Multiplikation der m-ten Zeile von A mit den n-ten Spalte von B. qed.
