Oberfläche eines Kegels paramterisieren

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Parameterdarstellung der Oberfläche eines schiefen Kegels an, dessen Achse vom Ursprung nach (2,0,3) reicht, und dessen Schnitt mit jeder Ebene z=z0 ein Kreis ist, wobei die Grundfläche ein Kreis mit Radius 1 ist.

Ansatz:

Die Grundfläche habe ich folgendermaßen pramterisiert

x=((-1.5)*√(4/13)*sin(alpha), cos(alpha), √(4/13)*sin(alpha))

Wie kann ich aber jetzt die Höhe einfließen lassen?

Danke

Answer 1

Aloha :)

Das scheint so eine Art Pisa-Kegel zu sein. Die Achse des Kegels ist die Gerade:$$g\colon\vec m=\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\cdot t\quad;\quad t\in[0;1]$$Jeder dieser Vektoren \(\vec m(t)\) ist der Mittelpunkt eines Kreises, der parallel zur \(xy\)-Ebene liegt. Die Radien der Kreise schrumpfen linear gemäß \(r(t)=(1-t)\). Damit haben wir eine Parametrisierung gefunden:

$$\vec r(t,\varphi)=t\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}+(1-t)\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$