Wenn g ○ f bijektiv ist, dann muss g ja sowohl surjektiv als auch injektiv sein, oder?

Question

Aufgabe: Beweisen Sie: Falls f: M -> N und g: N-P Funktionen sind, sodass g ○ f bijektiv ist, so ist g surjektiv.

Problem/Ansatz:

Wenn g ○ f bijektiv ist, dann muss g ja sowohl surjektiv als auch injektiv sein, oder? Reicht es also, zu zeigen, dass g ○ f surjektiv und injektiv ist, und daraus folgt dann automatisch, dass g surjektiv ist, oder wie gehe ich hier vor?

Liebe Grüße

Comments

Wenn g ○ f bijektiv ist, dann muss g ja sowohl surjektiv als auch injektiv sein, oder?

Das ist allgemein falsch.

(Nebenbei: Es schadet im Mathematik-Geschäft nicht, den gesunden Menschenverstand einzusetzen: Wenn Deine Annahme wahr wäre, so würde sich die Aufgabenstellung wohl kaum auf die Surjektivität beschränken.)

Gruß Mathhilf

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@mathhilf wie gehe ich denn vor...gebe mir doch bitte einen Tipp....LG

Answer 1

Hallo,

es gibt keinen Tipp, die Antwort ist ein Einzeiler:

Sei \(p \in P\) gegeben. Wei \(g \circ f\) surjektiv ist, existiert ein \(m \in M\) mit \(p=(g \circ f)(m)=g(f(m))\). Also gilt für \(n:=f(m) \in N\): \(p=f(n)\)

Gruß Mathhilf

Comments

Aber die Bedingung war doch, dass g ○ f bijektiv ist und dann g surjektiv wäre.

Oder meinen Sie, dass wenn g ○ f bijektiv ist, g ○ f automatisch auch injektiv und surjektiv ist?

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Die Definition ist: "bijektiv=injektiv und surjektiv"