Berechnen Sie ein n0, sodass |an − a| 10−1000 für alle n ≥ n0 gilt.

Question

Aufgabe:

a_{n =}    \( \frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1} \)    x ist eine feste, positive, reelle Zahl.

Berechnen Sie ein n₀, sodass | a_n − a | < 10⁻¹⁰⁰⁰ für alle n ≥ n₀ gilt.

ich hänge bei dieser Aufgabe fest.

Ich habe vorher (hoffentlich richtig) berechnet, dass der Grenzwert a 1 ist.

Dazu habe ich \( \sqrt{n} \). •  (\( \frac{\sqrt{xn}}{n+1} \).  +   \( \frac{1}{\sqrt{n} (n+1)} \)  ) betrachtet.

Für \( \sqrt{x} \)  (\( \frac{n}{n+1} \).  habe ich den Grenzwert 1  überlegt - x. ist eine feste, positive reelle Zahl, die möglichst klein werden kann, und dann bliebe \( \frac{n}{n+1} \). Für den zweiten Bruch habe ich den Grenzwert 0 überlegt.

Bei der obigen Aufgabe ist also ein Index n₀ gesucht, ab dem die ε-Umgebung kleiner als 10^-1000 ist. Da ich bei der Umformung des Bruches wahrscheinlich schon nicht erfolgreich war, komme ich jetzt nicht mehr weiter. Ich schreibe also faktisch \( \frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1} \). -  1  (in Betragsstrichen)  <.10^-1000.  müsste nach n auflösen und könnte dann den Index bestimmen.

Answer 1

Der Grenzwert ist aber \( \sqrt{x} \).

Comments

Verflixt, ja... War ansonsten die Vorgehensweise ok?

Answer 2

Hallo :-)

deine Rechenwege und Termausdrücke sind hier nicht deutlich genug hingeschrieben, bzw., unvollständig zu Ende geschrieben.

Dein Grenzwert stimmt nicht. Dieser kann aber mit etwas genauerem Hinsehen/Umformen ermittelt werden: Dieser lautet hier \(\sqrt{x}\) .

Betrachte also \( \left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1}-\sqrt{x}\right| \) , forme ihn um und schätze diesen Term geschickt nachoben ab, um an einen Ausdruck heranzukommen, bei dem du ein konkretes \(n_0\in \mathbb{N}\) angeben kannst, ab dem der Fehler unter die gewünschten \(10^{-1000}\) geht.

Achso:

Du musst aber zuerst beweisen, dass \(\sqrt{x}\) tatsächlich der Grenzwert ist!

-> Konvergenzbeweis

Comments

Ja, das mit dem Grenzwert habe ich dann auch gesehen (und eingesehen):

Ich habe nun umgeformt und herausbekommen

\( \frac{\sqrt{n}-\sqrt{x}}{n+1} \)

KAnnst du mir eventuell kurz verdeutlichen, was mit "nach oben abschätzen" gemeint ist und wie ich dann auf ein passendes n_{0 komme}? Ich bin Fernstudent und brüte einsam über meinen Materialien... :-(

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Oh ok, dann nutze möglichst alle möglichen Kontaktmöglichkeiten (insbesondere über deine Uni), die du online bekommen kannst, um auch so mit anderen Studenten in Kontakt zu treten. Über den Stoff zu reden ist nochmal was anderes, als nur drüber zu schreiben.

Aber dein Term sieht schonmal nicht schlecht aus.

Den Term \( \left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1}-\sqrt{x}\right| \) kannst du ja zb so umformen:

\(\begin{aligned} &\left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1}-\sqrt{x}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)}{n+1}+\frac{-(n+1)\sqrt{x}}{n+1}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)-(n+1)\sqrt{x}}{n+1}\right| \end{aligned}\)

Das sieht jetzt noch ziemlich grauenhaft aus und ich könnte da jetzt auch noch kein \(n_0\) angeben. Deshalb schätze ich diesen potthässlichen Ausdruck mal nachoben ab: Und dabei nutze ich alles, was man gegeben hat.

\(\begin{aligned} &\left|\frac{\sqrt{n}(\sqrt{xn}+1)-(n+1)\sqrt{x}}{n+1}\right|\\[15pt]& = \left|\frac{\sqrt{x}n+\sqrt{n}-n\sqrt{x}-\sqrt{x}}{n+1}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{\sqrt{n}-\sqrt{x}}{n+1}\right|\\[15pt] &\stackrel{x>0}{<}\left|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\right|\end{aligned}\)

Wie könntest du jetzt weitermachen?

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Ich fürchte, ich irre im Nebel. Also:  -  \( \sqrt{x} \)  brauche ich nicht zu berücksichtigen. Der Ausdruck in Betragsstrichen muss kleiner sein als die 10^-1000 (wäre er mit -\( \sqrt{x} \)) auch, und ich muss nicht den kleinsten Wert ermitteln. Hm, die Ungleichung nach n auflösen und dann den Wert bestimmen? Aber ich bekomme es nicht nach n aufgelöst.

Mit der Kommunikation hast du natürlich Recht, ich habe den Fuß noch nicht recht drin in der ganzen Organisation, aber in der Tat überfordert es mich, das hier im Stübchen alleine zu erarbeiten...

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Aber ich bekomme es nicht nach n aufgelöst.

Wenn du beim Abschätzen sowas hast, schätze weiter nachoben ab.

aber in der Tat überfordert es mich, das hier im Stübchen alleine zu erarbeiten...

Studium heißt ja erstmal, dass man sich Dinge (insbesondere zum Fach!) selbst erarbeitet. Das kann durchaus mit vielen Stolpersteinen (zb durch Verständnisproblemen) und Frustration begleitet werden. Davon aber nicht entmutigen lassen! Im Zweifel ein Gang zurück schalten und nach eigenem Tempo arbeiten, da das Tempo vom Dozenten nicht immer das ideale ist. Der macht das nicht zum erstenmal und i.d.R ist dieser Stoff für diese Person schon eher kalter Kaffee.

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Gut - Danke für die Begleitung. Ich werde das morgen dann zu Ende bringen. :-)

Ich habe kein Problem, alleine zu arbeiten, aber ein Fernstudium heißt, man hat einen Job und studiert nebenher, im maximalen Fall ohne Ansprache von außen. Und das ist dann doch etwas viel. Das Tempo finde ich ziemlich hart - alle zwei Wochen Aufgaben hochladen; eigentlich bleibt keine Zeit, das Gelernte und Gemachte zu verdauen und zu festigen. Naja, ich werde zusehen, dass ich Arbeitsgruppen finde. Dann danke nochmal und gute Nacht!

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alle zwei Wochen Aufgaben hochladen; eigentlich bleibt keine Zeit, das Gelernte und Gemachte zu verdauen

Falls du mehrere Module belegt haben solltest, rate ich dir aus meiner Sicht eher weniger zu belegen, da der Stundenaufwand fürs Studium durchaus höher liegen kann, als (nur) angegeben wird. Dann brauchst du zwar länger fürs Studium, aber da du nebenher noch was anderes machst, kann dir das sowiso egal sein.

Ansonsten viel Erfolg bei der Suche von einer möglichst verlässlichen Arbeitsgruppe und gute Nacht!