Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir probieren mal die ersten natürlichen Zahlen durch:$$n=0\colon\quad0!>2\cdot0+1\implies1>1\quad\text{FALSCH}$$$$n=1\colon\quad1!>2\cdot1+1\implies1>3\quad\text{FALSCH}$$$$n=2\colon\quad2!>2\cdot2+1\implies2>5\quad\text{FALSCH}$$$$n=3\colon\quad3!>2\cdot3+1\implies6>7\quad\text{FALSCH}$$$$n=4\colon\quad4!>2\cdot4+1\implies24>9\quad\checkmark$$
Damit haben wir unsere vollständige Induktion bereits bei \(n=4\) verankert.
Im Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) können wir nun \((n!>2n+1)\) voraussetzen:
$$(n+1)!=n!\cdot(n+1)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{>}(2n+1)\cdot(n+1)\stackrel{(n\ge4)}{\ge}(2n+1)\cdot4$$$$\phantom{(n+1)!}=8n+4>2n+3=2(n+1)+1\quad\checkmark$$
Damit haben wir gezeigt:$$n!>2n+1\quad\text{für }n\ge4$$