0 Daumen
1,1k Aufrufe
Die Aufgabe heißt:
Zeige mit Hilfe vollst. Induktion, dass für alle ℕ0  gilt:
6 | (7n - 1)
I-Anfang: Für n = 0Prüfe, dass 6 | (70 - 1)I-Annahme: Wir nehmen an, dass A(n) gilt für ein n ∈ ℕ0I-Schritt: Wenn n gilt, dann gilt auch n+1
A(n+1): 6 | (7n+1 - 1)<=>  6 | (70+1-1)


Weiter komme ich nicht.
Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen

zu zeigen:  Für alle n∈ℕ0   ist  7n - 1 durch 6 teilbar.

Basis für n = 0:   70 - 1 = 1-1 = 0 ist durch 6 teilbar   (0:6 = 0 Rest 0)

Induktionsschluss:    7n -1 durch 6 teilbar  ⇒  7n+1 - 1 durch 6 teilbar

Nachweis:  7n+1 - 1  =  7 • 7n - 1 =  (6+1) • 7n - 1 = 6 • 7n + 7n -1 

Der rote Summand ist offensichtlich durch 6 teilbar, der blaue Summand nach Induktionsvoraussetzung.

Also ist die Summe durch 6 teilbar.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Zitat:

Nachweis:  7n+1 - 1  =  7 • 7n - 1 =  (6+1) • 7n - 1 = 6 • 7n + 7n -1 

Kannst Du diese Zeile nochmal näher erklären? Ich kann nachvollziehen, warum da plötzlich 7*7n-1 steht, aber richtig verstehen tu ich's nicht.//Edit. ah ok... Potenzgesetz... hab's verstanden. Aber warum dann 6+1?

75 = 71 • 74 = 7 • 74

denn 75 = 7 • 7 • 7 • 7 • 7

74 =  7 • 7 • 7 • 7

7 = 6+1 = Trick, damit der Faktor 6 (teilbar durch 6) ins Spiel kommt

Hi Wolfgang. Danke noch einmal für Deine Ausführung. Hat mir sehr geholfen.

Genügt denn für die Begründung tatsächlich folgende Darstellung:

6 | ( 7n+1 - 1 ) 

 <=>  6 | 6 • 7n + 7n -1

Ich hab irgendwie das Bedürfnis das noch weiter zu vereinfachen, weiß aber nicht wie. Genügt es tatsächlich so? 

+1 Daumen
Ihr denkt viel zu hunten rum .



    7  =  1  mod  2  =  1  mod  3     (  1  )

    1  ^  n  -  1  =  0    (  2  )
Avatar von

wo ist die in der Aufgabe verlangte vollständige Induktion?

Und vor allem, was soll der Quatsch?

Zunächst einmal verwahre ich mich dagegen, mein Vorgehen sei " Quatsch " Um dir den Quatsch gleich zurück zu geben; solltest du zu dumm sein, meinem Gedankengang zu folgen, frage doch einfach, statt mir Vorwürfe zu machen.
  Mein Beweis entspricht algebraischen Standards; so wirst du z.B. in der Zeitschrift Spektrum lesen, dass moderne Rechnungen immer " modulo " gemacht werden, um die Zahlen klein zu halten.
   Mein Beweis ist so einfach, dass du ihn im Kopf machen kannst. Was ich beklage: Du bist kein bissele antiautoritär; gleichst " dem Hund, den man zur Jagd tragen muss " ===> Immanuel Kant

   " ===> Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus selbst verschuldeter Unmündigkeit. Selbst verschuldet ist  diese Unmündigkeit, indem die selbe nicht an einer Trübung des Geistes liegt, sondern an der mangelnden Entschlusskraft, sich seines Verstandes ohne Anleitung eines Dritten zu bedienen. "

  Du machst das jetzt mit Induktion, weil dein Prof das so verlangt hat.
  D.h. hätte er verlangt, dass du dir paar Gedanken machstüber Restklassenringe, würdest du auch das tun.
   D.h. du erbringst ja gar nicht den von deinem Prof geforderten Induktionsbeweis; tust mithin gar nicht das Geforderte.
    Du suchst nach Blöden im Internet, die dir deine Arbeit abnehmen, wohl wissend, dass dein Prof diesen Schritt niemals gut heißen wird.
   Und begehst obendrein noch ein Delikt so wie Gutenberg und Bösental. So bald du nämlich im Internet abschreibst, bist du VERPFLICHTET , dieses Zitat in deinen Hausaufgaben anzuzeigen.
   Was ich übrigens für voll Naiv halte: Jene Taktik, die ich nicht nur bei dir beobachte, mich dazu zu erpressen, deine Arbeit zu machen, indem du mich beschimpfst. Ist das so ein Relikt aus der Zeit, als du als Fünferschüler die ganzen Einser beschimpfen und dir obendrein noch des Beifalls der Klasse sicher sein konntest?
   Spätestens im Diplom ( oder wie das heute heißt ) wird dein Prof allerdings Eigeninitiative fordern.
   Denn er braucht ja Leute, die ihm SEINE Arbeit machen.
  ( Auch ich komme aus einem Institut, wo 8 von 10 Kommilitonen glaubten, der Prof sucht ihnen sämtliche Fehler in der Software; was mich dagegen immer so aufbringt, ist nicht so sehr die Chuzpe, sondern die Naivität. Es muss ja wohl so gewesen sein; denn selbst meinem Daddy fiel das auf, der nur mal eine halbe Stunde bei Herrn Professor zu Besuch weilte. )

Ich kann diesem Gedankengang nicht folgen. Kannst Du das noch mit 1-2 Kommentaren versehen?

Wir bilden die Situation ab in den ===> Restklassenring



    F6  :=  |Z  /  6  |Z        (  2.1  )



7  =  1  mod  6       (  2.2  )

7  =====>  1    (  2.3  )

7  ^  n  =====>  1  ^  n  =  1      (  2.4a  )

7  ^  n  -  1  =====>  1  ^  n  -  1  =  1  -  1  =  0  mod  6    (  2.4b  )      (  2.4a  )

Was spricht gegen die übliche Schreibweise?
$$ 7^n-1 \equiv \left(7-6\right)^n -1 = 1^n - 1 = 1-1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 \,|\, 7^n-1. $$
Ich will da jetzt keinen Jumbo draus machen; und deine schönen drei Striche hab ich nun mal nicht auf meiner Tastatur. Wenn man so vor geht wie du, tut man an einer geschickten Stelle Null subtrahieren.
Ach übrigens; dieser Editor ist ja voll krank. Wenn ich in den Inputmodus gehe, kann ich deine Formeln lesen; im normalen Readmodus steht da jedoch nur Coitus Interruptus.
0 Daumen

zu zeigen (unter der Vor, es gilt für n )   6 | (7n+1 - 1)

aber  es gilt

7n+1 - 1  = 7 * 7^n - 1 = 6 * 7^n + 1 * 7^n - 1 = 6 * 7^n +  7^n - 1

nun ist 6*7^n sicherlich als Vielfaches von 6 durch 6 teilbar

und  7^n - 1 nach Ind. vor.  Also  auch die Summe un d damit:

6 | ( 7n+1 - 1 )              q.e.d.


Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community