Finden Sie n0 ∈ N sodass für alle n ≥ n0 gilt n! > 2n+1

Question

Aufgabe:

Finden Sie n0 ∈ N sodass für alle n ≥ n0 gilt n! > 2n+1.

Problem/Ansatz:

Wie löst man folgende vollständige Induktion?
Wie löst man Induktionen mit Fakultäten und ungleichungen eigentlich? Vielleicht kann dies hier wer erklären.

Answer 1

Hallo

ich sehe keine vollständige Induktion. für n=4 gilt n!=24>2*4+1

also ist dein n0 =4.

jetzt gelte  für n>4

dann Beh; (n+1)!>2n+3

n!>2n+1 |*(n+1)

(n+1)!>2n^2+3n+1>2n+3 das letzte kannst du hoffentlich leicht sehen ?

lul

Comments

Dieses Beispiel ist jedoch mit vollständiger Induktion zu lösen.

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Hallo die Induktion habe ich doch vorgeführt?

lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir probieren mal die ersten natürlichen Zahlen durch:$$n=0\colon\quad0!>2\cdot0+1\implies1>1\quad\text{FALSCH}$$$$n=1\colon\quad1!>2\cdot1+1\implies1>3\quad\text{FALSCH}$$$$n=2\colon\quad2!>2\cdot2+1\implies2>5\quad\text{FALSCH}$$$$n=3\colon\quad3!>2\cdot3+1\implies6>7\quad\text{FALSCH}$$$$n=4\colon\quad4!>2\cdot4+1\implies24>9\quad\checkmark$$

Damit haben wir unsere vollständige Induktion bereits bei \(n=4\) verankert.

Im Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) können wir nun \((n!>2n+1)\) voraussetzen:

$$(n+1)!=n!\cdot(n+1)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{>}(2n+1)\cdot(n+1)\stackrel{(n\ge4)}{\ge}(2n+1)\cdot4$$$$\phantom{(n+1)!}=8n+4>2n+3=2(n+1)+1\quad\checkmark$$

Damit haben wir gezeigt:$$n!>2n+1\quad\text{für }n\ge4$$