Bestimme die exponentialfunktion Zeit (in min) — Schaumhöhe (in cm).

Question

Aufgabe: In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die  Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 5 Sekunden um 9 %.

a.) Um wie viel Prozent verringert sich die Höhe der Schaumsäule in einer Minute?

b.) Zu Beginn der Beobachtung beträgt die schaumhöhe 10cm. Bestimme die exponentialfunktion Zeit (in min) —> Schaumhöhe (in cm).

c.) Man spricht von „sehr guter Bietschaumhaltbarkeit“ , wenn die Halbwertszeit des schaumzerfalls größer als 110 Sekunden ist. Überprüfe, ob sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt.

Ansatz: Meine Lehrerin hatte das an der Tafel:

a.) 1-0,91^4 = 0,31 = 31%

b.) f(x) = 10•0,91^4x = 10•0,686^x

Bin gerade echt hilflos. Kann mir bitte jemand diese Aufgaben lösen?

LG

Comments

Die Höhe der Schaumsäule verringert sich
alle 5 Sekunden um 9 %.
oder nach der Formel deiner Lehrerin
1-0,91^4 
nach 15 sec um 9 %

Was soll angenommen werden ?

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Nach 15 Sekunden! Tippfehler

Answer 1

in einer Minute finden 12 Verringerungen auf jeweils 91% statt. 0,91¹²≈0,32. Das entspricht einer Verringerung um 68% in einer Minute.

Answer 2

Hallo

die Lösung a) ist nur richtig, wenn der Schaum in 15s=um 9% abnimmt also pro 15s auf

91%=0,91  in den nächsten 15 s wieder um 91% also ist die Höhe am Ende noch 0,91^4=0,69

also noch 69%  der Verlust ist also 31%

jetzt allgemein, ich nehme mal an es geht um 15s? und du hast dich vertippt. jetzt festlegen was x ist: Zeit in s oder Zeit in Min wir wissen pro 1 Minute nimmt der Schaum auf 0,91^4 =0,686 seiner Anfangshöhe ab in x Minuten auf 0,686^x deiner Anfqngshöhe  die war 10 cm also H(x)=10cm*0,686^x dabei muss man x in Minuten rechnen. rechnet man in s

so hat man in 15s aug 91% abgesunken in x s auf 0,91^{1/15 *x} und mit 0,91^1/15 =0,994

hast du dann H(x)=10cm 0,994^x  mit x in Sekunden.

etwas klarer?

Gruß lul

Answer 3

Aufgabe: In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9 %.

a.) Um wie viel Prozent verringert sich die Höhe der Schaumsäule in einer Minute?

60 sec / 15 sec = 4

Der Verringerungsschritt findet in 1 Min
4 mal statt.
0.91 ^4 = 0.686
Der Schaum verringert sich auf 68.6 %
Verringerung um 31.5 %

b.) Zu Beginn der Beobachtung beträgt die schaumhöhe 10cm. Bestimme die exponentialfunktion Zeit (in min) —> Schaumhöhe (in cm).
( t | Höhe )
( 0 min | 10 cm )
( 1 min | 6.86 cm )

h ( t ) = h0 * q ^t
h ( 0 ) = ho * q^0 = ho = 10

h ( t ) = 10 * q ^t
h ( 1 ) = 10 * q^1 = 6.86 cm
10 cm * q^1 = 6.86 cm
q = 0.686

h ( t ) = 10 * 0.686 ^t

c.) Man spricht von „sehr guter Bietschaumhaltbarkeit“ , wenn die Halbwertszeit des schaumzerfalls größer als 110 Sekunden ist. Überprüfe, ob sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt.

Halbwertzeit : nur noch die Hälfte der Aus-
gangsmenge ist vorhanden

h ( t ) = h0 * 0.686 ^t
h ( t ) / h0 = 0.686 ^t
h ( t ) / h0 = 0.5
0.5 = 0.686 ^t
t = 1.839 min
t = 1.839 * 60 = 110.34 sec

Prädikat : soeben sehr gute Bierschaumhaltbarkeit

Frag nach bis alles klar ist.

Comments

Vielen Dank!

Verstehe den rechenweg bei Aufgabe c.) nicht ganz..

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Halbwertzeit : nur noch die Hälfte der Aus-
gangsmenge ist vorhanden

Die Exponentialgleichung ist
h ( t ) = h0 * 0.686 ^t | / h0
h ( t ) / h0 = 0.686 ^t

h ( t ) Bierschaumhöhe zum Zeitpukt t
h0 Anfangsschaumhöhe
h ( t ) / h0 = 0.5
Zum Zeitpunkt h(t) ist nur noch die
Hälfte der Bierschaumhöhe vorhanden
Beispiel
5 cm / 10 cm = 0.5

h ( t ) / h0 = 0.686 ^t
0.5 = 0.686 ^t | ln
ln(0.5) = ln(0.686^t)
ln(0.5) = t * ln(0.686)
t = ln(0.5) / ln(0.686)
t = 1.839 min
in sec
t = 1.839 * 60 = 110.34 sec