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Aufgabe:

Gezeigt werden soll: Für jedes k∈ℕ gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, n+2,..., n+k alle keine Primzahlen sind.


Meine Überlegung ist, dass keine der Zahlen eine Primzahl sein kann, denn für 2≤i≤k+1 hat i eine Primteiler, der kleiner als k+2 ist. Dieser Faktor teilt n und damit auch n+i. Wichtig dabei ist, dass das Produkt der Primzahlen kleiner als k+2 ist.


Kann ich diese Aussage so beweisen oder gibt es da einen besseren Weg?


Ich bin über jede Hilfe dankbar.

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2 Antworten

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Hallo,

Weise nach, dass oben geforderte Teilbarkeit für$$n = (k+2)! - (k+2)$$ gilt. So ist $$\begin{aligned} k+2 &\mid n = (k+2)! - (k+2)\\ k+1&\mid n+1 = (k+2)!-(k+1) \\ k &\mid n+2 =(k+2)!-k \\ &\dots\\ k-(k-3)= 3 &\mid n+2 +(k-3) = n + (k-1) = (k+2)!-3 \\ 2 &\mid n+k = (k+2)!-2 \end{aligned}$$

Avatar von 48 k
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Für jedes k∈ℕ

Ich wähle k = 5

gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, n+2,..., n+k alle keine Primzahlen sind.

Welchen Wert schlägst du für n vor?

dass keine der Zahlen eine Primzahl sein kann

Für n = 1 ist aber mindestens eine der Zahlen eine Primzahl.

dass das Produkt der Primzahlen kleiner als k+2 ist.

Dann ist das Produkt der Primzahlen entweder 2 oder 3.

Spoiler gibt es unter https://www.mathelounge.de/844658/zeigen-jedes-gibt-ein-n-sodass-alle-keine-primzahlen-sind

Avatar von 107 k 🚀

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