Verständnis charakteristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Notation: Für eine Matrix A∈Kn×n ist χA(X):=det(X1n−A) ihr charakteristisches Polynom.
Mit 1n wird wie üblich die Einheitsmatrix vom Format n×n bezeichnet.
Entscheiden Sie, ob die jeweilige Aussage wahr oder falsch ist.

1. Das charakteristische Polynom einer Matrix A vom Format n×n über dem Körper K ist normiert und hat den Grad n.
2. Es gibt eine Matrix A∈R3×3 mit vier verschiedenen Eigenwerten.
3. Setzt man X=0 in das charakteristische Polynom der Matrix A ein, so erhält man die Determinante der Matrix: χA(0)=det(A).
4. Falls χA(−1)=0 für die Matrix A∈Rn×n gilt, dann ist die Matrix A+1n nicht invertierbar.

Comments

3. richtig, z.B. A = (1 -1

                -1  1)

-> x^2 - 2x

Für die Matrix würde die Aussage passen, habe das für mehrere gemacht und das passt auch. Wie kann ich das denn allgemein begründen warum das so ist.

4. richtig, wie würde man das hier auch allgemein begründen

Answer 1

Hallo

a) j, da ja jeweils 1*x subtrahiert wird.

b) Widerspruch zu a) ein Pol unten Grades hat maximal n Nullstellen.

c) kannst du an einer 2 x 2 Matrix ausprobieren

d) ebenso ausprobieren

Gruß lul