Plakat als Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe:

Hallo, wer kann helfen? Ich komme mit einer Extremwertaufgabe, 11. Klasse, gar nicht zu recht, obwohl sie einfach erscheint:

Ein Flugblatt soll eine bedruckte Fläche von 288 cm² besitzen. Oben und unten sollen jeweils 2 cm Rand frei bleiben, rechts und links jeweils 1 cm. x und y seien die Maße der bedrucken Fläche.

Frage: Welche (Außen-) Maße muss das Flugblatt haben, damit der Materialaufwand möglichst klein ist?

Problem/Ansatz:

(I)  x y = 288     (wobei y die Höhe der bedrucken Fläche sein soll, x die Breite)

(II) A = (x+2) (y+4)

Für die erste Ableitung nach x habe ich A' = y + 4 ermittelt, welche ich Null gesetzt habe. Somit erhalte ich y = -4 und für x = 72

Mehrere Prüfungen ergab, dass das keinesfalls die kleinste Fläche für das Plakat ist. Ich vermute, dass die Maße eher in Richtung Quadrat gehen, also fast gleich groß sind.

Was mache ich falsch?

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

zuerst eine Zeichnung machen

aus der Zeichnung

1) Ag=a*b

2) a=x+2

3) b=y+4

4) A=x*y → y=A/x

4) in 3) b=A/x+4 mit 2) in 1)

Ag(x)=(x+2)*(A/x+4)=A+2*A/x+4*x+8  mit A=288 cm²

A(g(x)=576/x+4*x+296

Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) Minimum bei x=12 cm → a=12 cm+2 cm=14 cm

nun eine Kurvendiskussion durchführen

spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²

(1/x) → v²=x² und v´=dv/dx=1

A´g(x)=0=-576/x²+4*x → Nullstellen x1,2=+/-Wurzel(576/4)=+/-12 cm

A´´g(x)=1152/x³

Den Rest schaffst du selber

~plot~576/x+4*x+296;392;[[-10|20|0|450]];x=12~plot~

Answer 2

Servus

Dein Ansatz ist schon richtig. In diesem Fall ist es am besten, wenn man die Fläche als eine Funktion in Abhängigkeit von einer Länge beschreibt.

A(x,y)=(x+4)*(y+2)

Hierbei ist x*y=288

Multplizieren wir also den oberen Term aus, dann bekommen wir folgendes:

x*y+2x+4y+8=A(X,y)

x=288/y

Hierbei können wir die Nebenbedinung einsetzen.

288+576/y+4y+8=A(y)

Jetzt können wir die Extrema dieser Funktion bestimmen.

A'(y)= 0 = -576/y² + 4 = -576+4y² =0

Und jetzt die Nullstellen berechnen.

y=√144

y=12

Und jetzt noch x

X= 24

Damit haben wir schon Mal die bedruckte Fläche. Die gesamte Fläche ergibt sich dann natürlich durch die Addition des Rands.

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Vielen Dank!

Answer 3

Ein Flugblatt soll eine bedruckte Fläche von 288 cm² besitzen. Oben und unten sollen jeweils 2 cm Rand frei bleiben, rechts und links jeweils 1 cm. x und y seien die Maße der bedrucken Fläche.

l = x + 2
b = y + 4
x * y = 288

A = Außenfläche ( möglichst gering)

A = l * b
A = ( x + 2) * ( y + 4 )
y = 288 / x
A = ( x + 2 ) * ( 288/x + 4 )
A ´( x ) = 1 * ( 288/x + 4 ) + ( x + 2 ) * ( -288/x^2 )
1 * ( 288/x + 4 ) + ( x + 2 ) * ( -288/x^2 ) = 0
x = 12
y= 288/12 = 24

Comments

Vielen Dank!

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Gern geschehen.