Zu zeigen dass lokal bestimmte implizite Funktion einen kritischen Punkt hat

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten eine zweimal stetig differenzierbare Funktion \( f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).
(a) Zeige, dass die durch \( f(x, y)=c \) lokal bestimmte implizite Funktion \( y=h(x) \) einen kritischen Punkt in \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) besitzt, wenn
$$ f\left(x_{0}, y_{0}\right)=c, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \quad \text { und } \quad \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . $$

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f(x;y)=c\) ist für alle Werte von \(x\) und \(y\) konstant. Daher ist ihr totales Differential \(df=0\). Formal bedeutet dies:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=0\quad\implies\quad\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}=0$$Nennen wir \(h(x)\coloneqq y(x)\), so ist \(\frac{dy}{dx}=y'(x)=h'(x)\) die Ableitung von \(h(x)\). Wir stellen die Gleichung danach um:$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\,h'(x)\quad\implies\quad h'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$$Speziell im Punkt \((x_0;y_0)\) ist nun der Zähler gleich \(0\) und der Nenner \(\ne0\). Daher ist:

$$h'(x_0)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0;y_0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0;y_0)}=0$$Damit besitzt \(h(x)\) einen kritischen Punkt an der Stelle \(x_0\).

Comments

Sehr großen DANK!!!!