Grenzwert Berechnungen: (7^n + 4^{n+1} ) / (7^{n+1} + 4^n)

Question

Für die Folge

\( A_{n} = \frac{7^{n}+4^{n+1}}{7^{n+1}+4^{n}} \)

soll ich den Grenzwert berechnen. als Zwischen Ergebnisse habe ich 1/7 + 4 erhalten, was laut  wolfram Alpha beides Grenzwerte für lim n→ -∞ und lim n→∞ sein sollen, jedoch hätte ich diese weiter zu 29/7 verrechnet.

Answer 1

(7^n + 4^{n+1} ) / (7^{n+1} + 4^n) |oben und unten durch 7^{n+1}
(1/7 + (4/7)^{n+1} ) / (1 +( 4/7)^n * 1/7)

im Grenzwert
(1/7 + 0)/(1+0) = 1/7

Für n gegen minus unendlich käme 4 raus. Aber das ist ja nicht gefragt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%287%5En+%2B+4%5E%28n%2B1%29+%29+%2F+%287%5E%28n%2B1%29+%2B+4%5En%29++

Answer 2

Die Grenzwert der Funktion

$$f(n)=\frac { { 7 }^{ n }+{ 4 }^{ n+1 } }{ { 7 }^{ n+1 }+{ 4 }^{ n } }$$

sind

4 für n -> - ∞

und

1/7 für n -> ∞

Bei einer Folge betrachtet man allerdings in der Regel nur Folgeglieder, deren Nummerierung nicht-negativ ist, die also bei n = 0 oder n = 1  beginnt und dann immer um 1 größer wird. Damit erhält man für die Folge a_n :

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 7 }  }$$

(Im übrigen ist mir nicht ganz klar, warum du die Grenzwerte addieren willst ... )

Answer 3

Also bei mir kommt nur 1/7 raus..

Ich dividiere oben und unten durch die höchste Potenz..

7ⁿ wächst viel stärker als 4ⁿ also bleibt 1/7 stehen..

grüße

Comments

Kannst du mir den rechenweg etwas genauer darlegen? Ich verstehe es grade nicht..