Bestimmen sie eine Gleichung der Tangente

Question

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung    f(x)=( 1-0,5x)×e^x. Der Graph von f ist K, der Graph der 1. Ableitungsfuktionen von f ist L.

1.) Im Punkt (0/f(0)) wird an K die Tangente gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente

2.) Die Gerade x=u schneidet K im Punkt P und L im Punkt Q. Ermittle den Wert von u, sodass die Strecke PQ eine Länge von 1 hat.

EDIT: Exakte Darstellung und Fortsetzung im Kommentar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Kann das einer lösen?

Stichworte: analysis

Text erkannt:

A 3 Analysis
Gegeben ist die Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x)=\left(1-\frac{1}{2} x\right) \cdot e^{x} \) mit \( x \in \mathbb{R} \) Der Graph von \( f \) ist \( K \), der Graph der 1. Ableitungsfunktion von \( f \) ist \( L \).
3.1 Berechnen Sie die Nullstelle von f.
3.2 Zeigen Sie, dass
\( f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x\right) \cdot e^{x} \)
die 1. Ableitungsfunktion von \( f \) ist Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von \( \mathrm{K} \) und ermitteln Sie die Art des Extremums. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes \( \mathrm{W}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{w}} \mid \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{w}}\right)\right) \) von \( \mathrm{K} \) Begründen Sie, dass für \( \mathrm{K} \) bei \( \mathrm{W} \) ein Wechsel von linksgekrümmt nach rechtsgekrümmt erfolgt.
Skizzieren Sie \( \mathrm{K} \) im Intervall \( -4 \leq \mathrm{x} \leq 2,1 \).
3.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass \( \mathrm{K} \) und \( \mathrm{L} \) keine gemeinsamen Punkte haben. Skizzieren Sie L im Intervall \( -4 \leq \mathrm{x} \leq 2,1 \) im vorhandenen Koordinatensystem.
3.4 Im Punkt (0 \( f(0) \) wird an \( K \) die Tangente gelegt. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente.
3.5 Die Koordinatenachsen und \( \mathrm{L} \) begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche
3.6 Die Gerade \( x=u \) mit \( u \in \mathbb{R} \) schneidet \( K \) im Punkt \( P \) und \( L \) im Punkt \( Q \).
5
Ermitteln Sie den Wert von u, sodass die Strecke \( \overline{P Q} \) eine Länge von 1 hat.
3.7 Die Gerade s schneidet \( \mathrm{K} \) in den Punkten \( \left(1 \frac{1}{2} \mathrm{e}\right) \) und \( (2 \mid 0) \). Die Gerade \( g \) verläuft parallel zu s und durch den Punkt \( \left(\frac{1}{2} \mid \frac{1}{4} \mathrm{e}\right) \) Sowohl s und die Koordinatenachsen als auch \( \mathrm{g} \) und die Koordinatenachsen schließen je eine Dreiecksflăche ein.
Berechnen Sie das Verhältnis der Flăcheninhalte dieser Dreiecke

Aufgabe:

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Hallo :)

3.1 und 3.2 habe ich schon. Der Rest ist mir leider komplett unklar.

Lg und danke für die schnelle Rückmeldung

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Was sind deine Ergebnisse für 3.1 und 3.2?

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Nullstelle:

X=2

Extrempunkte:

1=x, Tiefpunkt, (1/1,36)

Wendepunkte:

0=x, W r-l , (1/1)

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Es ist ein Hochpunkt bei (1, e/2).

Deine Antwort zum Wendepunkt ist unverständlich. Er ist bei (0, 1).

Viele Fragen zu 3.1 und 3.2 sind nicht beantwortet worden.

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Wie bist du denn darauf gekommen? Ich habe gerade nochmal durchgerechnet und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen wie bei meiner ersten Rechnung.

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Das ist die Kurve:

Answer 1

Die Antwort ist ja. Sogar mehr als einer. Wie würdest du es denn lösen, bzw. was davon ist dir unklar, und wie lauten deine Ergebnisse für das, was dir nicht unklar ist?

Comments

3.3

f(x) = f '(x) hat keine Lösung

3.4

Der Punkt 0, f(0) und die Steigung f '(0) definieren die Geradengleichung der Tangente.

3.5

Integriere f '(x) von 0 bis zur Nullstelle

3.6

f(u) - f '(u) = 1

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Vielen Dank für die tolle Erklärung. Ich hoffe ich kriege das jetzt hin.

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Leider verstehe ich 3.4 noch nicht in deiner Erklärung. Könntest du da noch etwas genauer drauf eingehen? Und was muss ich bei 3.7 machen?

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Wenn du sagst was dir bei 3.4 noch unklar ist, und was für einen Punkt und was für eine Steigung für die gesuchte Gerade du hast, kann ich gerne versuchen das zu erklären, was dir noch unklar ist.

Answer 2

Das Ganze ist nur eine einfache Kurvendiskussion und hier nur viel Rechnerei.

Privat gebe ich Nachhilfe und nehme für solch eine Aufgabe komplett durchgerechnet mit Proberechnungen 10 €.

3.3  es gilt beide Funktionwerte sind gleich,bei einer Schnittstelle

g(x)=f(x) → 0=f(x)-g(x)

0=[1-1/2*x)*e^(x)] - [e^(x)*(1/2-1/2*x)]=(1-1/2*x)*e^(x)-e^(x)*(1/2-1/2*x)

0=e^(x)*[(1-1/2*x)-(1/2-1/2*x)]=e^(x)*(1-1/2*x-1/2+1/2*x)

0=e^(x)*1/2

e^(x) kann nicht NULL werden e^(0)=1  x>0  wird e^(x) unendlich groß

x<0 wird e^(x) unendlich klein aber nicht NULL.

3.4 )

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=... liegen soll

Infos

Text erkannt:

Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft \( m i t \) he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). ergibt \( y t=f_{t}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
a1so \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x 0=f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln * x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / m 1 \) hier ist \( m 1=f^{\prime}(x \circ) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4 * x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)

 ~plot~e^x*(1/2-1/2*x);[[-5|3|-10|2]];x=-4;x=2,1~plot~

Answer 3

1) t(x) = (x-0)*f '(0) +f(0)