Grenzwerte von Funktionen berechnen

Question

Aufgabe Grenzwertberechnung für Funktionen:

Falls nötig soll der links und rechtsseitige Grenzwert betrachtet werden.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x^{2}-1} \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\frac{3 x^{3}-7 x+100}{x^{3}+42 x^{2}} \)

Answer 1

1) Polynomdivision (Zähler / Nenner) ergibt:

f ( x ) = x + 1

lim _x->1 ( x + 1 ) = 2

2) $$f(x)=\frac { 3x^{ 3 }-7x+100 }{ { x }^{ 3 }+{ 42x }^{ 2 } }$$$$=\frac { { x }^{ 3 } }{ { x }^{ 3 } } *\frac { 3-\frac { 7 }{ x } +\frac { 100 }{ { x }^{ 2 } }  }{ { 1 }+{ \frac { 42 }{ x }  } }$$$$=\frac { 3-\frac { 7 }{ x } +\frac { 100 }{ { x }^{ 2 } }  }{ { 1 }+{ \frac { 42 }{ x }  } }$$$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 3-\frac { 7 }{ x } +\frac { 100 }{ { x }^{ 2 } }  }{ { 1 }+{ \frac { 42 }{ x }  } } =\frac { 3+0+0 }{ 1-0 }  } =3$$

Answer 2

1)

unbestimmter Ausdruck "0/0" --> L'Hospital

lim (x→1) (3x^2 + 2x -1) / (2x) = 2

2)

lim (x→-∞) (3x^3 - 7x +100) / (x^3 + 42x^2)

= lim (x→-∞) ( x^3 * (3 - 7/x^2 + 100/x^3 )) / ( x^3 * (1 + 42/x))

= 3 / 1 = 3