Aufgaben zum Verständnis der Integral- und Differenzialrechnung

Question

Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Autos ist gegeben mit:

 

Entwickeln Sie zu dieser Gegebenheit möglichst viele unterschiedliche Fragestellungen.

 

Ich habe bisher folgende Fragen notiert:

Wie lautet die Funktion f, die die Geschwindigkeit des Fahrzeugs [im m/s] in Abhängig der Zeit [in s] angibt ? Geben Sie die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform und in der allgemeinen Form an.

Geben Sie die Funktionsgleichung der ersten Ableitung an.

Geben Sie die Stammfunktion F(x) mit F(0) = 0 an.

Welches sind die Funktionswerte f(0), f(3) und f(8) ? Und was bedeuten diese im Sachzusammenhang ?

Welche Einheit hat die Steigung im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ?

Welche Einheit hat eine Fläche im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ?

Welches sind die Werte für f'(0) und f'(3) und was bedeuten diese im Sachzusammenhang ?

Berechne den Wert des bestimmten Integrals über f(x) im Intervall von 0 bis 3. Was bedeutet dieser Wert im Sachzusammenhang ?

Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Fahrzeug die Höchstgeschwindigkeit und wie hoch ist diese ? Geben Sie die Geschwindigkeit auch in km/h an.

Wie lange fährt das Auto über der Höchstgeschwindigkeitsgrenze von 30 km/h.

Welche Beschleunigung hat das Auto am Beobachtungsbeginn? Um wie viel Prozent liegt diese über bzw. unter der Gravitationsbeschleunigung von 9.81 m/s^2.

Welche Strecke legt das Auto in den gesamten 8 s zurück?

Nach welcher Zeit hat das Auto eine Strecke von 50 m zurückgelegt ?

Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto über die gesamten 8 s hinweg.

Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto von der 2. bis zur 6. Sekunde ?

 

Es wäre schön, wenn euch noch weitere Fragen einfallen, die sich allerdings von den obigen nicht nur durch irgendwelche Werte unterscheiden sollten.

Wer mag kann natürlich auch versuchen die Aufgaben zu beantworten. Ich habe die obigen Fragen allerdings schon beantwortet. 

Comments

Gibt es jemanden im Forum der mir die erste Frage ( Wie lautet die Funktion ?) beantworten kann ? Meine Versuche mit der anschließenden  Probe sind fehlgeschlagen. Die Parabel sieht nach einer Sinuskurve aus. Zu mehr reichts bei mir nicht. Danke für eine Antwort.
Gast

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Wie lautet die Funktion f, die die Geschwindigkeit des Fahrzeugs [im m/s]
in Abhängig der Zeit [in s] angibt ? Geben Sie die Funktionsgleichung in der
Scheitelpunktform und in der allgemeinen Form an.

In der Frage wird schon darauf hingewiesen das es eine " Scheitelpunktform "
gibt. Es soll sich also um eine Parabel handeln.

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

Du hast 3 Unbekannte a,b,c: Also brauchst du 3 Punkte die dann 3
Gleichungen ergeben. Die Punkte können beliebig aus dem Graph
abgelesen werden.

Es empfehlen sich, weil eingezeichnet, die Punkte

f ( 0 ) = a * 0^2 + b * x + c = 0
f ( 4 ) = a *4^2 + b * 4 + c = 14
f ( 8 ) = a * 8^2 + b * 8 + c = 0

Aus der ersten Gleichung ergibt sich c = 0
a *4^2 + b * 4  = 14
a * 8^2 + b * 8 = 0

Schaffst du es a und b auszurechnen ?

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Danke für die Antwort, ich war auf dem falschen Dampfer. Für b habe ich 7 und für a -7/8 ermittelt.

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Ja. Das ist richtig. Die Funktion lautet

f(x) = 7·x - 0.875·x^2

Scheitelpunktform

f(x) = - 0.875·(x - 4)^2 + 14

Nullstellenform bzw. Faktorisierte Form

f(x) = - 0.875·x·(x - 8)

Answer 1

toll, dass ich diese "Frage" gefunden habe - ich habe Langeweile und hier sind meine Ergebnisse (wir haben es allerdings schon sehr spät, weshalb mir Fehler unterlaufen können):

Wie lautet die Funktion f, die die Geschwindigkeit des Fahrzeugs [im m/s] in Abhängig der Zeit [in s] angibt ? Geben Sie die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform und in der allgemeinen Form an.

=> Scheitelpunktform: f(x) =  -(x-4,5)²+14

=> allgem. Form: -x² +8x

Geben Sie die Funktionsgleichung der ersten Ableitung an.

=> f'(x) = -2x +8

Geben Sie die Stammfunktion F(x) mit F(0) = 0 an.

=> F(x) = -1/3•x³ +4x²

Welches sind die Funktionswerte f(0), f(3) und f(8) ? Und was bedeuten diese im Sachzusammenhang ?

=> f(0) = 0 -> Das Auto befindet sich im Zustand der Ruhe, d.h. es steht.

=> f(3) = 15 -> nach drei Sekunden hat das Auto auf 15m/s beschleunigt.

=> f(8) = 0 -> Das Auto befindet sich wieder im Zustand der Ruhe.

Welche Einheit hat die Steigung im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ?

=> m/s² (Beschleunigung)

Welche Einheit hat eine Fläche im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ?

=> m (Strecke)

Welches sind die Werte für f'(0) und f'(3) und was bedeuten diese im Sachzusammenhang ?

=> f'(0) = 0 -> Keine Geschwindigkeit.

=> f'(3) = 2 -> Das Auto hat zu diesem Zeitpunkt eine Beschleunigung von 2m/s² erreicht.

Berechne den Wert des bestimmten Integrals über f(x) im Intervall von 0 bis 3. Was bedeutet dieser Wert im Sachzusammenhang ?

=> ₀ ∫³ (-1/3x³ +4x²) dx = 27 -> Man erhält über die Fläche den zurückgelegten Weg, der hier nach 3 Sekunden vom Start aus 27m ist.

Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Fahrzeug die Höchstgeschwindigkeit und wie hoch ist diese ? Geben Sie die Geschwindigkeit auch in km/h an.

=> zum Zeitpunkt x = 4. Diese beträgt 14m/s, was 50,4km/h entspricht.

Wie lange fährt das Auto über der Höchstgeschwindigkeitsgrenze von 30 km/h.

=> 30km/h = 8,3m/s. etwa 2,8 Sekunden

Welche Beschleunigung hat das Auto am Beobachtungsbeginn? Um wie viel Prozent liegt diese über bzw. unter der Gravitationsbeschleunigung von 9.81 m/s².

=> Die Beschleunigung zu Beobachtungsbeginn liegt bei 8m/s². Diese liegt etwa 18,5% unter der Gravitationsbeschleunigung.

Welche Strecke legt das Auto in den gesamten 8 s zurück?

=> ₀∫⁸f(x) dx = 85,3, also eine Strecke von 85,3m.

Nach welcher Zeit hat das Auto eine Strecke von 50 m zurückgelegt ?

=> nach etwa 6,1 Sekunden.

Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto über die gesamten 8 s hinweg.

=> 1,75m/s

Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto von der 2. bis zur 6. Sekunde ?

=> etwa 1,1m/s.

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So, das war's von meiner Seite aus dazu. Ich bin mal gespannt, wie viele Fehler ich da um halb 11 gemacht habe - garantiert sind 3/4 falsch.... Ich schaue mal, dass ich morgen entsprechende Aufgaben vorbereite und dir diese zukommen lasse. Damit habe ich gerade wunderbar unser momentanes Physikthema zum Teil wiederholt ;))

Comments

Hallo.

=> Scheitelpunktform: f(x) =  -(x-4,5)²+14

=> allgem. Form: -x² +8x

Ungünstiger weise hast du wohl den Streckungsfaktor nicht richtig berücksichtigt. Kleiner Tipp. Wenn du eine Funktionsgleichung hast mach doch mal mit dem Taschenrechner eine kleine Wertetabelle und schau ob die Wertetabelle mit dem Graphen übereinstimmt.

Es ist meist ser ungünstig wenn man eine verkehrte Funktion hat, weil dann der Rest leider auch nur folgerichtig sein könnte.

Gerade wenn man sowas als freiwillige Lernaufgabe macht sollte man sich immer selber kontrollieren.

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oh schade - wie gesagt es war schon spät :(