(a) Zeigen Sie, dass \( \left\{x^{3}-x^{2}, x^{3}-x\right\} \) eine Basis für den Unterraum
$$ W=\left\{p \in \mathbb{R}_{3}[x]: p(0)=p(1)=0\right\} $$
von \( \mathbb{R}_{3}[x] \) ist. Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis für \( \mathbb{R}_{3}[x] \) und finden Sie somit ein Komplement von \( W \) in \( \mathbb{R}_{3}[x] \).
(b) Sei \( S_{3} \) die Menge aller reellen, symmetrischen Matrizen \( 3 \times 3 \) Matrizen. Finden Sie eine Basis für den Unterraum \( S_{3} \) von \( \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und bestimmen Sie somit \( \operatorname{dim} S_{3} \). Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis für \( \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und finden Sie somit ein Komplement von \( S_{3} \) in \( \mathbb{R}^{3 \times 3} \).
[Hinweis: Eine \( n \times n \) Matrix \( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \) heißt symmetrisch, falls \( a_{i j}=a_{j i} \) für alle \( i, j=1, \ldots n \) gilt. \( ] \)
