Ungleichung mit Fakultät beweisen.

Question

Aufgabe:

Ich will folgende Ungleichung beweisen:

Für alle n∈ℕ gilt: n! ≥ (\( \frac{n}{2})^{\frac{n}{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab es mal mit Induktion versucht, aber kam nach endlosen Umformungen immer noch nicht auf das Ergebnis... Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Falls \(n\) gerade ist, gilt$$n!=\bigg(n\cdot(n-1)\cdots\left(\frac n2+1\right)\bigg)\cdot\bigg(\frac n2\cdot\left(\frac n2-1\right)\cdots1\bigg)\\n!>\bigg(\frac n2\cdot\frac n2\cdots\frac n2\bigg)\cdot\bigg(1\cdot1\cdots1\bigg)\\n!>\left(\frac n2\right)^{\frac n2}$$Analog zeige die Aussage für den Fall, dass \(n\) ungerade ist.