Berechnen Sie Cov(15 X1 + X2, X1 − 12 X2)

Question

Aufgab:

Hallo Tschakamumba!Ich verstehe das Prinzip noch nicht genau -> wie würde es denn aussehen wenn die Angabe folgende wäre:

\(\sigma_1^2=15\quad;\quad\sigma_2^2=20\quad;\quad\sigma_{12}=-15\)

Berechnen Sie Cov(15 X1 + X2, X1 − 12 X2)

:-)

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis 209 heraus bekommen, aber das ist falsch.
Meine Vorgehensweise war:

15*15+14*16-12*20=209

Answer 1

Aloha :)

Die Covarianz ist eine sog. Bilinearform, d.h. linear in beiden Argumenten. Damit kannst du wie folgt rechnen:

$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(15X_1+X_2,X_1-12X_2)$$$$=15\operatorname{Cov}(X_1,X_1-12X_2)+\operatorname{Cov}(X_2,X_1-12X_2)$$$$=15\left(\,\operatorname{Cov}(X_1,X_1)-12\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\,\right)+\left(\,\operatorname{Cov}(X_2,X_1)-12\operatorname{Cov}(X_2,X_2)\,\right)$$$$=15\left(\,\sigma_1^2-12\sigma_{12}\,\right)+\left(\,\sigma_{12}-12\sigma_2^2\,\right)$$$$=15\sigma_1^2-179\sigma_{12}-12\sigma_2^2$$$$=15\cdot15-179\cdot(-15)-12\cdot20=2670$$

Comments

Hallo Tschkabumba,

Ich danke Dir fürs Aufzeigen der Rechnung - Ergebnis ist korrekt!
Vielen, vielen Dank!

LG :-)