Berechnen Sie Cov(Y, X1).

Question

Aufgabe:

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ = 5 und
Standardabweichung = 5. Sei X1, X2, X3 eine einfache Stichprobe aus X und  Y = ( X1+X2+X3)/3.

Berechnen Sie Cov(Y,X1).

Meine Lösung:

Cov(Y,X1) = E(Y*X1) - E(Y)*E(X)

= E{( X1+X2+X3)/3*X1}- E(X)²

= (E(X1²)+E(X1*X2)+E(X3*X1))/3 -E(X)²

= E(X²)-E(X)²

= 25

Ich bin mir unsicher, ob meine Lösung so richtig ist und würde mich über Verbesserungen freuen. :)

Answer 1

Aloha :)

Die Covarianz ist bilinear, d.h. linear in jedem ihrer beiden Argumente:$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(Y,X_1)=\operatorname{Cov}\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{3},X_1\right)=\frac{1}{3}\operatorname{Cov}\left(X_1+X_2+X_3,X_1\right)$$$$=\frac{1}{3}\left(\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)+\operatorname{Cov}\left(X_2,X_1\right)+\operatorname{Cov}\left(X_3,X_1\right)\right)$$Da die \(X_1,X_2,X_3\) alles Stichproben aus derselben normalverteilten Zufallsvariablen \(X\) sind, können wir schreiben:$$=\frac{1}{3}\left(\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)+\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)+\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)\right)=\frac{1}{3}\cdot3\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)$$$$=\operatorname{Cov}\left(X_1,X_1\right)=\operatorname{Var}(X_1)=\mu^2=25$$Wir erhalten beide dasselbe Ergebnis auf unterschiedlichen Rechenwegen ;)