Sei \( p_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto x \) die Projektion
auf die \( x \) -Achse und \( p_{23}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}y \\ z\end{array}\right) \) die Projektion auf
die \( y-z \) -Ebene. Sei \( \theta \in \mathbb{R} \) (ein Winkel im Bogenmaß) und setze
\( e_{1}:=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad e_{2}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad e_{3}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) . \)
(1) Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung \( D_{e_{1}, \theta}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gibt \( \mathrm{mit} \)
\( p_{1}\left(D_{e_{1}, \theta}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)\right)=x \quad \) und \( \quad p_{23}\left(D_{e_{1}, \theta}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)\right)=D_{\theta}\left(\begin{array}{l}y \\ z\end{array}\right), \quad \forall x, y, z \in \mathbb{R} \)
wobei \( D_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) um \( \theta \) bezeichnet, und finden Sie eine explizite Formel (analog zur Formel von \( D_{\theta} \) aus der Vorlesung). Die Abbildung \( D_{e_{1}, \theta} \) heißt Drehung um \( \theta \) längs \( e_{1} . \)
(2) Finden Sie analoge Definitionen und Formeln der Drehungen um \( \theta \) längs \( e_{2} \) und \( e_{3} \), die entsprechend mit \( D_{e_{2}, \theta} \) bzw. \( D_{e_{3}, \theta} \) bezeichnet werden.
(3) Zeigen Sie, dass \( D_{e_{i}, \theta}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, i=1,2,3 \), eine \( \mathbb{R} \) -lineare \( \mathrm{Ab} \) bildung ist und skizzieren Sie die Wirkung dieser Abbildungen auf Vektoren im \( \mathbb{R}^{3} \).
Problem: Ich verstehe leider überhaupt nicht, was zu tun ist. Also wie fange ich an?
