Aufgaben H.11.1 / H.11.2
Betrachten Sie die lineare Abbildung
$$ f : \mathbb{R}^{3} : \rightarrow \mathbb{R}^{3} \text { mit } f\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x+3 y+z} \\ {-x+y-2 z} \\ {2 y+3 z} \end{array}\right) \text { sowie } $$
die Basen \( \mathscr{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\right\} \) und \( \mathscr{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right)\right\} \operatorname{des} \mathbb{R}^{3} \)
(a) Geben Sie die Matrix \( \mathscr{M}(f, \mathscr{E}, \mathscr{E}) \) an, wobei \( \mathscr{E} \) die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bezeichnet. Bestimmen Sie die Dimension von Kern \( f \) und geben Sie eine Basis des Kerns an.
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung von \( f \) bezüglich der Basen \( \mathscr{B}_{1} \) und \( \mathscr{B}_{2} \) an. Bestimmen Sie dazu die Matrizen \( S \) und \( R \) mit \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right)=R^{-1} \mathscr{M}(f, \mathscr{E}, \mathscr{E}) S \)
(c) Sei \( v_{\mathscr{B}_{1}}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right) \quad \) der Koordinatenvektor von \( v \in \mathbb{R}^{3} \) zur Basis \( \mathscr{B}_{1} . \) Berechnen Sie den Vektor \( f(v)_{\mathcal{B}_{2}}, \) d.h. den Bildvektor \( f(v) \) zur Basis \( \mathscr{B}_{2}, \) sowohl direkt als auch mithilfe der Gleichung \( f(\boldsymbol{v})_{\mathcal{B}_{2}}=\mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \boldsymbol{v}_{\mathscr{B}_{1}} \)
Aufgabe H.11.3
(a) Betrachten Sie die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x+y} \\ {y+3 z} \\ {x+z}\end{array}\right) \) sowie die
Basen \( \mathscr{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\right\}, \mathscr{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)\right\} \) und die kanoni-
sche Basis \( \mathscr{E} \) des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie die Matrizen \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{E}, \mathscr{B}_{2}\right) \) und \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \)
(b) Gegeben sei die Basis \( \mathscr{B}_{1}=\left\{1, x, x^{2}\right\} \) von \( \mathbb{P}_{2}, \) die Basen \( \mathscr{B}_{2}=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} \) und \( \mathscr{B}_{3}=\left\{1+x, x+x^{2}, x^{2}, x^{3}\right\} \) von \( \mathbb{P}_{3} \) sowie die lineare Abbildung \( G: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{P}_{3} \)
\( G(p(x))=(x+1) \cdot p(x) . \) Bestimmen Sie die Matrizen \( \mathscr{M}\left(G, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \) und \( \mathscr{M}\left(G, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{3}\right) \)
Aufgabe H.11.4
Zeigen Sie, dass die Matrix \( A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {\sqrt{2}} \\ {-1} & {1} & {\sqrt{2}} \\ {-\sqrt{2}} & {-\sqrt{2}} & {0}\end{array}\right) \) eine Drehung des \( \mathbb{R}^{3} \) beschreibt, und bestimmen Sie Drehachse und Drehwinkel.
Aufgabe H.11.5
Bestimmen Sie alle orthogonalen Matrizen der Form \( A=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {*} & {*} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {*} & {*} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \) und
prüfen Sie jeweils ob es sich um eine Drehung oder Umlegung handelt.
Problem/Ansätze:
Bei Aufgabe 11.1a) muss man ja erstmal die funktion f(x,y,z) in eine Matrix umwandeln.
-1 3 1 - 2. Zeile 0 2 3 1. u. 3. Gleichung linear abhäning
-1 1 -2 -1 1 -2
0 2 3 0 2 3
-> -1 1 -2 (• -1) -> 1 -1 -2 -> 1 -1 - 2
0 2 3 0 2 3 1.+2. Zeile 1 1 1
???
da weiß ich z.B. nicht wie ich das Ergebnis in der 3. Zeile hinbekomme, Vorausgesetzt was ich gemacht habe ist überhaupt richtig...
Bei b und c hab ich leider garkeinen Ansatz.
und so wie ich es verstehe müsste Aufgabe H11.3 genauso gehen.
Bei H.11.4 habe ich ja bereits von "Lu" Hilfe bekommen, vielen dank schonmal dafür :)
A (transponiert) mal A. 1 -1 -√2 1 -1 √2
1/2·1/2 -1 1 -√2 • -1 1 √2
√2 √2 0 -√2 -√2 0
ich weiß nicht warum bei mir die transponierte matrix A = matrix A ist,...
das Ergebnis würde bei mir sein
= 4 0 0
0 4 0
0 0 4
und die Determinante ist bei mir ist 1/2·1/2 · det A=2 und somit würde keine Drehung bzw. Umlegung bei herauskommen.
und die H.11.5 müsste ja so ähnlich funktionieren, oder?
Es wäre nett wenn sich wieder= jemand bereiterklären würde mir Hilfe zu leisten.
Ich müsste die Sachen bis 18.01.2013 fertig haben und wäre sehr sehr dankbar :)
