Bestimmen Sie den Konverganzradius der Potenzreihe ∞∑n=1 x^n / n^k

Question

Bestimmen Sie für k ∈ N den Konvergenzradiusder reellen Potenzreihe ∞∑n=1 xⁿ / n^k  und diskutieren Sie in Abhängigkeit von k das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzintervalls.

Ich brauch bei dieser Aufgabe Hilfe.

Answer 1

Du kannst hier den Quotiententest verwenden: Eine Reihe ist konvergent, wenn für fast alle n für die Summandenfolge gilt:

|a_n+1/a_n| ≤ q < 1

Bilde den Quotienten:

|(xⁿ⁺¹/(n+1)^k)/(xⁿ/n^k)| = |x| * |n^k/(n+1)^k|  _n→∞ |x|

Die Reihe ist also für |x|<1 konvergent.

Am Rand des Konvergenzintervalls:

Wähle erstmal x=-1, das ist nämlich leichter. Zu untersuchen ist nun die Konvergenz der Folge:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { k } } $$

Wegen dem (-1)ⁿ ist die Reihe nach dem Leibnizkriterium konvergent, wenn 1/n^k eine Nullfolge ist: das ist sie für k≥1, also ist die Reihe für x=-1 und k≥1konvergent.

Betrachte jetzt x=1: Zu untersuchen ist

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { k } } $$

Diese Reihe ist divergent für k=0,1 und konvergent für k=2 (das habt ihr vermutlich schon bewiesen?)

Für k>2 lässt sich die entstehende Reihe nach dem Majoranten-Kriterium durch die Reihe mit k=2 abschätzen, ist also auch konvergent.