Aufspannen vom Vektorraum zeigen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 5: Zeigen Sie, dass die Vektoren
$$ \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(0,1,2), \vec{w}=(0,0,1) $$
den Vektorraum \( \left(\mathbb{R}_{3},+, \cdot\right) \) aufspannen.

… Lösung:

Text erkannt:

Aufgabe 5: Es ist zu zeigen, dass ein beliebiger Vektor \( (a, b, c) \in \mathbb{R}_{3} \) eine Linearkombination von \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) ist, d.h. es muss gelten für \( x, y, z \in \mathbb{R} \) :
$$ (a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} $$
Hieraus ergibt sich das LGS
$$ \begin{array}{r} x=a \\ 2 x+y=b \\ 3 x+2 y+z=c \end{array} $$
und durch rekursives Berechnen \( x=a, y=b-2 a, z=c-2 b+a \in \mathbb{R} \), was \( \mathrm{zu} \) zeigen war.

Text erkannt:

Aufgabe 5: Es ist zu zeigen, dass ein beliebiger Vektor \( (a, b, c) \in \mathbb{R}_{3} \) eine Linearkombination von \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) ist, d.h. es muss gelten für \( x, y, z \in \mathbb{R} \) :
$$ (a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} $$
Hieraus ergibt sich das LGS
$$ \begin{aligned} x &=a \\ 2 x+y &=b \\ 3 x+2 y+z &=c \end{aligned} $$
und durch rekursives Berechnen \( x=a, y=b-2 a, z=c-2 b+a \in \mathbb{R} \), was \( \mathrm{zu} \) zeigen war.

Ich verstehe den Ansatz, da die 3 Vektoren ja den gesamten Vektorraum aufspannen, muss jeder Veektor durch

Linearkombination der Vektoren u,v,w gebildet werden können,

jedoch verstehe ich diesen Teil nicht ganz

Text erkannt:

Aufgabe 5: Es ist zu zeigen, dass ein beliebiger Vektor \( (a, b, c) \in \mathbb{R}_{3} \) eine Linearkombination von \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \) ist, d.h. es muss gelten für \( x, y, z \in \mathbb{R} \) :
$$ \begin{array}{l} \qquad(a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \\ \text { Hieraus ergibt sich das LGS } \\ \qquad \begin{aligned} x &=a \\ 2 x+y &=b \\ 3 x+2 y+z &=c \end{aligned} \end{array} $$
und durch rekursives Berechnen \( x=a, y=b-2 a, z=c-2 b+a \in \mathbb{R} \), was zu
mwar.

Wie wird dieses Gleichungssystem genau gebildet und was sagt das aus?,

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo:-)

Du musst nur die drei gegebenen Vektoren in die Gleichung

\((a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \)

einsetzen. Und schon steht das Gleichungssystem da, wie auf dein Blatt.

Damit wird untersucht, ob man mit den drei Vektoren \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) tatsächlich jeden beliebigen Vektor \((a,b,c)\) aus \(\mathbb{R}^3\) bilden kann.

Comments

Vielen Dank für dein Antwort ! :D

hey, wie genau meinst du das? Kannst du mir das genauer erläutern was wo eingesetzt werden muss?

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Diese drei Vektoren

\(\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(0,1,2), \vec{w}=(0,0,1) \)

werden in diese Gleichung eingesetzt

\((a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \).

Answer 2

Aus den ersten Komponenten von linker und rechter Seite der Gleichung \( (a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \) wird eine Gleichung gemacht.

Aus den zweiten Komponenten von linker und rechter Seite der Gleichung \( (a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \) wird eine Gleichung gemacht.

Aus den dritten Komponenten von linker und rechter Seite der Gleichung \( (a, b, c)=x \cdot \vec{u}+y \cdot \vec{v}+z \cdot \vec{w} \) wird eine Gleichung gemacht.

Answer 3

Aloha :)

Es reicht hier vollkommen aus, zu zeigen, dass die 3 Vektoren \(\vec u,\vec v,\vec w\) nicht alle in einer Ebene liegen und ein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Daher berechnen wir das von den 3 Vektoren aufgespannte Volumen mittels des Spat-Produkts:

$$V=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1-0\\0-0\\0-0\end{pmatrix}=1\ne0\quad\checkmark$$

Damit sind die 3 Vektoren linear unabhängig und spannen den \(\mathbb R^3\) auf.