Wie groß ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks - Satz des Pythagoras

Question

Ich hab mal wieder ein Problem bei meinen Übungsaufgaben.

und zwar lautet die:

Wie groß ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks, das einem Kreis mit dem Radius r=5 einbeschrieben ist?

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Answer 1

Hi

Der Winkel eines Dreiecks ist am Mittelpunkt 360°/8 = 45°
Die halbe Grundseite s eines Dreiecks bekommen wir z.B. über
sin(22.5°) = (s/2)/5cm
(s/2) = sin(22.5°)*5cm

Die Höhe h eines Dreiecks können wir mit Pythagoras berechnen
h^2 + (s/2)^2 = 25cm
h = √(25cm^2 - (s/2)^2)
h = √(25cm^2 - sin^2(22.5°)*25cm^2)
h = √(25cm^2(1 - sin^2(22.5°)))

Die Fläche eines Dreiecks ist
A = s/2*h
A = sin(22.5°)*5cm * √(25cm^2(1 - sin^2(22.5°)))

Wir haben 8 Dreiecke

A₈ = 8*sin(22.5°)*5cm *√(25cm^2(1 - sin^2(22.5°)))
A₈ = 70.71cm^2

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komisch mit sinus hatten wir noch gar nichts..

Könntest du es vielleicht ein wenig ausführlicher schreiben? wäre sehr dankbar dafür!!

z.B was heißt "(s/2)²)" ? bei  h = √(25cm² - (s/2)²)

oder bei h = √(25cm2(1 - sin2(22.5°))) - was ist minus sinus 2 und die 3 Klammern?

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s/2 ist die halbe Grundseite eines Dreicks.

Satz des Pythagoras: h^2 + (s/2)^2 = 25cm^2
Umstellen nach h:
h = √(25cm2 - (s/2)^2)  (I)

Es gilt:
(s/2) = sin(22.5°)*5cm
(s/2)^2 = sin^2(22.5°)*25cm^2

Einsetzen in (I)
h = √(25cm^2 - sin^2(22.5°)*25cm^2)
Ausklammern
h = √(25cm^2(1 - sin^2(22.5°))
Obiges ist nicht -sin 2, sondern der sinus von 22.5° wird quadriert.
 

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Warum mit Trigonometrie und Rechner, wenn's doch mit einfachen Mitteln geht?

1.) Berechne das Quadrat im Umkreis mit ∅ = 10.

2.) Füge die 8 flachen Dreiecke, die "Zacken", zu 4 flachen Rechtecken zusammen.

3.) Mit π = 3,14 oder π = 22 / 7 brauch's dann nicht 'mal einen Taschenrechner  - oder?

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Das ist eine schöne Lösung, hoffentlich kann der Fragesteller sie noch sehen.

Mir kam ja das markierte Quadrat gleich irgendwie verdächtig vor! :P

Die Frage nach dem warum ist einfach beantwortet: weil ich auf die Idee nicht gekommen bin! Sonst hätte ich sicherlich diesen einfacheren Lösungsweg gepostet.

Kann man sich doch denken, oder?

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Ja habe ich jetzt gerade gesehen, dankeschön dafür! :-)

Nur leider haben wir Pi noch nicht durchgenommen und weiß daher nicht wie dort vorgegangen wurde..

Für mich scheint die unterste Antwort als die logischste.

 

Könnte mir jemand die untere Antowrt genauer Eläutern? wäre sehr sehr dankbar!! komme momentan einfach nicht weiter :-(

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Pi brauchst du hier gar nicht.
Im Grunde hat Anonym schon alles erklärt, ich versuche es mal
ein bisschen ausführlicher:

Das große, einbeschriebene Quadrat hat eine Diagonale d = 2*5cm
Daraus folgt, dass die Kantenlänge a des Quardats
a^2 + a^2 = (2*5cm)^2
2a^2 = (2*5cm)^2
a^2 = (2*5cm)^2/2
a = 2*5/√2 cm ist
Der Flächeninhalt des einbeschriebenen Quadrats
ist daher (2*5/√2 cm)^2

Es fehlt noch der Flächeninhalt der 8 flachen Dreiecke,
die sich zu 4 Rechtecken zusammensetzen lassen.
Die Höhe eines Rechtecks ist 5cm - 5/√2 cm.
Die Breite eines Rechtecks ist 5/√2 cm
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist (5cm - 5/√2)*5/√2
Weil wir 4 Rechtecke haben, ist der Flächeninhalt der 4
Rechtecke 4*(5cm - 5/√2 cm)*5/√2 cm.

Aus den Teilflächen ergibt sich der Flächeninhalt des Achtecks:
A = 4*(5cm - 5/√2 cm)*5/√2 cm + (2*5/√2 cm)^2

Answer 2

Regel-Achteck  im Umkreis mit ∅ =10 cm oder hier R = 5 cm beträgt :

8-Eck F  =  4 * [ (5 - 5 / √2 ) * 5/√2 ) ]  + ( 2 * 5/√2 ) ²  =  70,71 cm²

Zum Vergleich der Flächeninhalt des zugehörigen Umkreises:

Kreis F = 10^{2 *} π / 4 = 78,54 cm²