Finden Sie eine Basis für den Unterraum S3 von R^ 3×3 und bestimmen Sie somit dim S3.

Question

Aufgabe:

Sei S₃ die Menge aller reellen, symmetrischen Matrizen 3 × 3 Matrizen. Finden Sie eine
Basis für den Unterraum S₃ von R^3×3 und bestimmen Sie somit dim S₃. Ergaenzen Sie diese
Basis zu einer Basis für R^3×3 und finden Sie somit ein Komplement von S₃ in R^3×3
.
[Hinweis: Eine n × n Matrix A = (a_{ij )i,j=1,...,n} heißt symmetrisch, falls a_{ij =} a_ji für alle
i, j = 1, . . . n gilt.]

Comments

Allgemein hat eine dreireihige reelle symmetrische Matrix die Form \(\begin{pmatrix}x&a&b\\a&y&c\\b&c&z\end{pmatrix}\).
Das sind sechs freie Parameter, deswegen sollte $${\cal B}=\left\lbrace\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\right\rbrace$$eine Basis von \(S_3\) sein.