Zeigen Sie, dass die Abbildung A aus der vorherigen Aufgaben für R = R injektiv ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung A aus der vorherigen Aufgaben für R = R injektiv ist. Ein reelles
Polynom f ist also eindeutig bestimmt durch die Abbildung ˜f, die es definiert.
Gilt dies allgemeiner auch für Polynome über einem beliebigen Körper R?
Tipp: Überlegen Sie sich zunächst, was Sie über die Nullstellen und den Grad eines Polynoms f
aussagen können, wenn ˜f die Nullabbildung x 7→ 0 ist.

Problem/Ansatz:

suche die ganze Antwort bitte

Comments

Meinst Du nicht, Du solltest Dir die Mühe machen, Deine Frage sinnvoll zu stellen? Oder glaubst Du dass A eine universelle Abbildung ist, die jede kennt?

---

sorry dachte dass mann es sehen kann was die vorherige Aufgabe ist, hier schreibe ich:

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Jedes Polynom f ∈ R[t] definiert durch Auswertung
(„Einsetzen“) eine Abbildung ˜f : R → R. Beispielsweise ist für f = t + 1 ∈ R[t] die Abbildung ˜f
gegeben durch x 7→ x + 1. Zeigen Sie, dass die Abbildung


A: R[t] → Abb(R, R)
      f 7→ ˜f


bezüglich der in der vorherigen Aufgabe definierten Ringstruktur auf (Abb(R, R), ⊕, ) (wähle also
X = R in Aufgabe 2) ein Homomorphismus von Ringen mit Eins ist.

Answer 1

Hallo,

ein weiteres Problem ist, dass Du den Buchstaben R für Ring und für die reellen Zahlen benutzt - wenn ich alles richtig geraten habe. Ich verwende kleine Buchstaben für \(f \in R[t]\) und große für \(F \in Abb(R,R)\)

Zunächst geht es um \(R= \mathbb{R}\). Sei also \(F=A(f)\), $$F(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$$

Wenn dieses Polynom F das Null-Polynom ist, dann müssen alle Koeffizienten gleich 0 sein. Denn sonst hat ein Polynom vom Höchstgrad n höchstens n verschieden Nullstellen. Das ist ein Satz, der vermutlich hier als bekannt vorausgesetzt werden kann..

Dieser Satz gilt nicht für beliebige Körper. Wenn man zum Beispiel \(R=F_2\) nimmt, also den Körper mit 2 Elementen, dann ist

$$F(x):=x^2+x$$

Das Nullpolynom, aber die Koeffizienten sind ungleich 0, d.h.für \(f:=t^2+t \in R[t]\) ist \(f \neq 0\), aber \(F=A(f)=0\)

Gruß Mathhilf

Comments

Danke für die Antworten