Hallo,
wir stellen die Gleichung um und verwenden für die Exponentialfunktion ihre Reihe:
$$x=(\exp(x)-1)\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n\right)= \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k \right)\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n\right)= :\sum_{m=1}^{\infty} c_mx^m$$
D.h. das Produkt aus den beiden Potenzreihen ergibt wieder eine Potenzreihe, deren Koeffizienten habe ich mit c_m bezeichnet. Vergleicht man linke und rechte Seite, ergibt sich: c_1=1 und c_m=0 für m>1. Diese Koeffizienten c_m werden nach dem Prinzip des Cauchy-Produkts berechnet:
$$c_m= \sum_{k=0}^{m-1}\frac{B_k}{k!}\frac{1}{(m-k)!}= \frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{m-1} {m \choose k} B_k$$
Wir lesen ab: \(B_0=1\) und \(B_1=-0.5\) und die in a) angegebene Formel.
In b) ist die Funktion \(a\) (Alpha?) einerseits definiert als die Potenzreihe, von der der Term mit k=1 subtrahiert wurde, also andererseits als
$$a(x)=\frac{x}{\exp(x)-1}+0.5x$$
Man rechnete jetzt direkt nach, dass \(a\) symmetrisch ist (\(a(x)=a(-x)\)), so dass auch die Potenzreihe nur Terme mit gerader Potenz enthält.
Gruß Mathhilf
