Bestimmung stationärer Punkt

Question

Die Funktion  \(F(x_1,x_2) = -7 + 2\cdot x_1 + 6\cdot x_2 -1\cdot x_1^2 - 2\cdot x_1\cdot x_2 - 3\cdot x_2^2\)

besitzt genau einen stationären Punkt \((x_1,x_2)\). Bestimmen Sie diesen. Welche folgenden Aussagen treffen zu?

a) es gilt \(x_1=x_2\)
b) In \((x_1,x_2)\) liegt ein globales Maximum vor
c) es gilt \(x_2=0 \)
d) in \((x_1,x_2)\) liegt ein globales Minimum vor
e) es gilt \(x_1=1\)

Answer 1

Aloha :)

In enem stationären Punkt der Funktion$$F(x;y)=-7+2x+6y-x^2-2xy-3y^2$$muss deren Gradient verschwinden:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\binom{2-2x-2y}{6-2x-6y}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Wir erhalten ein kleines Gleichungssystem mit der Lösung \((x_0;y_0)=(0;1)\).

Es gibt also genau einen Kandidaten für ein Extremum. Zur Bestimmung der Art dieses Extermums brauchen wir die Hesse-Matrix bestehend aus den 2-ten partiellen Ableitungen:$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-2\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=-2\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-2\quad;\quad\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-6$$Die Hesse-Matrix ist also unabhängig von den Variablen \(x\) und \(y\):$$H=\begin{pmatrix}-2 & -2\\-2 & -6\end{pmatrix}$$Die Hauptminoren sind \((-2)\) und \(8\), sodass die Hesse-Matrix negativ-definit ist. Daher liegt an der kritischen Stelle \((0;1)\) ein globales Maximum vor.

Für die Kreuzchen am Ende heißt das:

a) falsch

b) richtig

c) falsch

d) falsch

e) falsch

Comments

Dankeee sehr :)

Answer 2

Hallo :-)

Du musst nur die Jacobimatrix und die Hesse-Matrix bilden.

\(F(x_1,x_2) = -7 + 2\cdot x_1 + 6\cdot x_2 -1\cdot x_1^2 - 2\cdot x_1\cdot x_2 - 3\cdot x_2^2\)

Jacobimatrix:

$$ J_F(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial F}{\partial x_1}(x_1,x_2)& \frac{\partial F}{\partial x_2}(x_1,x_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2\cdot x_1-2\cdot x_2&6-2\cdot x_1-6\cdot x_2 \end{pmatrix} $$

Hesse-Matrix:

Nach Satz von Schwarz ist \(\frac{\partial^2F}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2) =\frac{\partial^2F}{\partial x_2 \partial x_1}(x_1,x_2) \).

$$ H_F(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2F}{\partial x_1 \partial x_1}(x_1,x_2) & \frac{\partial^2F}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2) \\[10pt]\frac{\partial^2F}{\partial x_2 \partial x_1}(x_1,x_2) & \frac{\partial^2F}{\partial x_2 \partial x_2}(x_1,x_2)   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-6 \end{pmatrix}=:A $$

Eigenwerte von \(A\):

\(0=(-2-t)(-6-t)-4=(2+t)(6+t)-4=t^2+8t+8\\t_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-8}=-4\pm\sqrt{8}\Rightarrow \) beide Eigenwerte negativ, d.h \(A \) ist negativ definit.

Stationärer Punkt:

\( J_F(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}2-2\cdot x_1-2\cdot x_2&6-2\cdot x_1-6\cdot x_2 \end{pmatrix}\stackrel{!}{=}(0,0)^T\\[20pt] 1.)\space 2-2\cdot x_1-2\cdot x_2=0\\2.)\space 6-2\cdot x_1-6\cdot x_2=0\\ \Rightarrow 2-2\cdot x_2=6-6\cdot x_2\Leftrightarrow -4=-4\cdot x_2\Leftrightarrow x_2=1 \Rightarrow x_1=0\).

Also ist \((x_1,x_2)^T=(0,1)^T\) ein stationärer Punkt. Weil \(A\) negativ definit ist, ist \((0,1)^T\) zunächst ein lokaler Maximierer.

Da \(F\) aber auch konkav ist, ist \((x_1,x_2)^T=(0,1)^T\) der einzige Maximierer von \(F\), d.h es handelt sich hierbei um ein globales Maximum.

Also ist:
a) falsch
b) richtig
c) falsch
d) falsch
e) falsch

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Dankeschön für die Hilfe : )