0 Daumen
334 Aufrufe

Aufgabe:gegeben sei die Ungleichung x^2 / y + y^2 /x >= y +x Beweisen Sie das für alle x,y >0


Problem/Ansatz: Ich bräuchte da eine Denkanstoss, ich habe die Ungleichung mal mit xy multipliziert um den Bruch raus zukriegen und auf der linken Seite ausgeklammert, dann komme ich auf

X^3 + y^3 >= xy(x+y)

weiter bin ich jetzt nicht gekommen, ich brauche da wohl einen schubser

Avatar von

Tipp: (x - y)2·(x + y) ≥ 0 für alle x,y > 0.

Danke mal für deine Antwort, aber wie kommst du auf diese Ungleichung?

Ich habe darüber gegrübelt und auf keinen grünen Zweig gekommen

Die Summe zweier positiven reellen Zahlen (hier x+y) ist immer positiv. Das Quadrat einer reellen Zahl (hier (x-y)2) ist immer nichtnegativ. Das Produkt zweier nichtnegativen reellen Zahlen ist immer nichtnegativ.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

dann komme ich auf x3 + y3 >= xy(x+y).

Dann geht es so weiter:

x3 + y3 >= x2y+xy2

x3-x2y+y3-xy2≥0

x2(x-y)+y2(y-x)≥0

x2(x-y)-y2(x-y)≥0

(x2-y2)(x-y)≥0

(x-y)(x+y)(x-y)≥0

(x-y)2(x+y)≥0

(x-y)2 ist nie negativ, x+y ist positiv für alle x,y >0

Avatar von 123 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community